Représentation graphique des fonctions du second degré

Les fonctions du second degré donnent toujours des paraboles quand on les trace. C'est parti pour comprendre comment elles bougent !

Avec f(x) = x² + β, tu décales la parabole de base vers le haut ou vers le bas. Si β = 3, tu montes de 3 unités. Si β = -2, tu descends de 2 unités. L'axe de symétrie reste toujours x = 0.

Pour g(x) = $x - α$², tu déplaces la parabole à gauche ou à droite. Si α = 2, tu vas à droite de 2. Si α = -3, tu vas à gauche de 3. Le sommet se trouve alors au point (α, 0) et l'axe de symétrie devient x = α.

Avec h(x) = αx², tu changes la forme de la parabole. Si α > 1, elle devient plus "serrée". Si 0 < α < 1, elle s'élargit. Si α < 0, elle se retourne complètement !

Astuce : Le sommet d'une parabole f(x) = a$x - α$² + β est toujours au point (α, β). C'est son point le plus haut si a < 0, le plus bas si a > 0.

Forme canonique et identités remarquables

La forme canonique, c'est la façon la plus pratique d'écrire une fonction du second degré. Elle te dit directement où est le sommet !

D'abord, révise tes identités remarquables : $x + b$² = x² + 2bx + b². Donc x² + 2bx = $x + b$² - b². Par exemple, x² + 10x = $x + 5$² - 25.

Prenons f(x) = 2x² + 12x + 10. Tu factorises le 2 : f(x) = 2$x² + 6x + 5$. Puis tu complètes le carré : x² + 6x = $x + 3$² - 9. Donc f(x) = 2$(x + 3)² - 9 + 5$ = 2$x + 3$² - 8.

Le discriminant Δ = b² - 4ac apparaît naturellement dans ce processus. Les coordonnées du sommet sont α = -b/(2a) et β = -Δ/(4a).

Conseil : Une fois en forme canonique f(x) = a$x - α$² + β, tu lis directement le sommet (α, β) et tu sais tout sur ta parabole !

Calcul pratique du sommet et programmation

Maintenant tu as les formules directes pour trouver le sommet sans passer par la forme canonique !

Pour f(x) = ax² + bx + c, calcule d'abord Δ = b² - 4ac. Puis α = -b/(2a) et β = -Δ/(4a). Le sommet est S(α, β).

Exemple avec f(x) = 2x² + 12x + 10 : a = 2, b = 12, c = 10. Donc Δ = 144 - 80 = 64, α = -12/4 = -3, β = -64/8 = -8. Le sommet est S(-3, -8).

Le code Python automatise tout ça. Tu saisis a, b, c et le programme calcule le discriminant, les coordonnées du sommet et donne la forme canonique. Super pratique pour vérifier tes calculs !

a = int(input("a"))
b = int(input("b")) 
c = int(input("c"))
d = b**2 - 4*a*c
alpha = -b/(2*a)
beta = -d/(4*a)

Bon plan : Utilise ce code pour checker tes exercices. Si tu te plantes dans les calculs, tu le verras tout de suite !

Résolution des équations du second degré

Résoudre ax² + bx + c = 0, c'est trouver où la parabole coupe l'axe des x. Le discriminant Δ te dit tout !

Si Δ > 0 : deux solutions distinctes x₁ = $-b - √Δ$/(2a) et x₂ = $-b + √Δ$/(2a). La parabole coupe l'axe des x en deux points.

Si Δ = 0 : une solution double x₀ = -b/(2a). La parabole touche juste l'axe des x au sommet.

Si Δ < 0 : aucune solution réelle. La parabole ne touche jamais l'axe des x.

Exemple : 2x² + 12x + 10 = 0. Avec Δ = 64 > 0, tu as x₁ = (-12 - 8)/4 = -5 et x₂ = (-12 + 8)/4 = -1. Tu peux alors factoriser f(x) = 2$x + 5$$x + 1$.

Truc de pro : Mémorise que la somme des racines vaut -b/a et leur produit c/a. Ça permet de vérifier tes calculs rapidement !

Applications et vérifications

Maintenant on vérifie tout avec les exemples concrets et on code pour automatiser !

Pour f₁(x) = 2x² + 12x + 10 : Δ = 64, donc √Δ = 8. Les solutions sont x₁ = -5 et x₂ = -1. Tu obtiens f₁(x) = 2$x + 5$$x + 1$.

Pour f₂(x) = -2x² + 12x - 18 : Δ = 0, donc une solution double x₀ = 3. D'où f₂(x) = -2$x - 3$².

Le programme Python complet gère tous les cas avec des conditions if/elif. Il calcule Δ, affiche le nombre de solutions et donne la factorisation quand c'est possible.

Les relations entre les racines sont super utiles : si x₁ et x₂ sont les solutions, alors x₁ + x₂ = -b/a et x₁ × x₂ = c/a. Réciproquement, si tu connais la somme s et le produit p de deux nombres, ils sont solutions de x² - sx + p = 0.

Méthode infaillible : Calcule toujours Δ en premier, ça détermine tout le reste de la résolution !

Étude du signe des expressions du second degré

Le signe d'une expression du second degré dépend totalement de son discriminant et du coefficient de x².

Cas Δ > 0 : l'expression change de signe aux racines x₁ et x₂. Si a > 0, elle est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles. Si a < 0, c'est l'inverse.

Cas Δ = 0 : l'expression ne s'annule qu'en x₀ = -b/(2a) et garde le signe de a partout ailleurs.

Cas Δ < 0 : l'expression garde toujours le signe de a, elle ne change jamais de signe.

Exemple avec 2x² + 12x + 10 : a = 2 > 0, Δ = 64 > 0, x₁ = -5, x₂ = -1. L'expression est positive sur ]-∞; -5[ ∪ ]-1; +∞[ et négative sur ]-5; -1[.

Règle d'or : Pour a > 0, la parabole sourit (∪), pour a < 0, elle est triste (∩). Le signe suit cette logique !

Plan de cours - Récapitulatif

Voici le plan complet que tu viens de parcourir sur les fonctions du second degré.

Partie I - Représentations graphiques : les transformations de base (translations verticales, horizontales, dilatations) et le cas général avec les paraboles.

Partie II - Forme canonique : les identités remarquables pour compléter le carré, les exemples de mise en forme et les formules générales pour les coordonnées du sommet.

Les identités utiles à retenir : x² + 12x = $x + 6$² - 36, x² + 4x = $x + 2$² - 4, x² - 8x = $x - 4$² - 16, x² - 14x = $x - 7$² - 49.

Conseil de révision : Maîtrise d'abord les transformations simples avant de t'attaquer au cas général !

Suite du programme et méthodes

La suite logique pour maîtriser complètement le chapitre.

Partie III - Équations du second degré : résolution par le discriminant, factorisation selon les cas, et programmation pour automatiser les calculs.

Partie IV - Étude du signe : tableaux de signes selon la valeur du discriminant, lien avec la position de la parabole par rapport à l'axe des x.

Les outils informatiques t'aident énormément : programme Python pour calculer discriminant et sommet, algorithmes pour la résolution complète.

Tu as maintenant toutes les clés pour gérer n'importe quelle fonction du second degré. Que ce soit pour tracer sa courbe, résoudre une équation ou étudier son signe, tu sais faire !

Objectif atteint : Tu maîtrises les paraboles sous tous les angles. Place à l'entraînement avec les exercices !