Suite arithmétique

Une suite arithmétique est caractérisée par l'ajout d'un nombre constant (la raison r) à chaque terme pour obtenir le suivant : u_{n+1} = u_n + r. Le sens de variation dépend directement de cette raison : la suite est croissante si r > 0 et décroissante si r < 0.

Pour calculer n'importe quel terme sans passer par tous les précédents, on utilise la forme explicite : u_n = u_0 + n×r $si on part de u_0$ ou u_n = u_1 + $n-1$×r $si on part de u_1$. Cette formule est particulièrement utile dans les exercices où l'on vous demande de trouver un terme éloigné.

La somme des termes d'une suite arithmétique peut être calculée de plusieurs façons. La plus efficace est : S_n = nombre de termes × $premier terme + dernier terme$/2. C'est une formule qui revient souvent dans les contrôles de suite arithmétique en Terminale STMG.

💡 Astuce pour mémoriser : Une suite arithmétique avance toujours du même pas (comme une marche régulière). Si vous connaissez un terme et la raison, vous pouvez retrouver tous les autres !

Propriétés des suites

La moyenne arithmétique entre deux termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale au terme entre les deux : u_n = $u_{n-1} + u_{n+1}$/2. Cette propriété est très pratique pour vérifier si une suite est arithmétique dans les exercices.

Une suite géométrique est définie par son premier terme et une relation de récurrence u_{n+1} = u_n × q, où q est la raison. Contrairement aux suites arithmétiques où l'on additionne, ici on multiplie par un facteur constant à chaque étape.

Pour calculer directement un terme, utilisez la forme explicite : u_n = u_0 × q^n $si on part de u_0$ ou u_n = u_1 × q^$n-1$ $si on part de u_1$. Cette formule est indispensable pour résoudre efficacement les exercices de suite géométrique en Terminale.

La somme des n premiers termes d'une suite géométrique se calcule avec la formule : S_n = premier terme × $1 - q^n$/$1 - q$ pour q ≠ 1. Cette formule est fréquemment demandée dans les contrôles de suites géométriques.

⚠️ Attention : Lors des exercices corrigés de suites Terminale STMG, faites bien attention à distinguer les suites arithmétiques (addition) des suites géométriques (multiplication) !

Variations des suites géométriques

Le sens de variation d'une suite géométrique dépend entièrement de sa raison q. Contrairement aux suites arithmétiques, il faut distinguer trois cas possibles selon la valeur de q.

Si q > 1, la suite géométrique est croissante - chaque terme est plus grand que le précédent. Cette croissance est même plus rapide qu'une suite arithmétique puisqu'elle est exponentielle, comme on peut le voir dans de nombreux exercices corrigés.

Si 0 < q < 1, la suite est décroissante - chaque terme devient de plus en plus petit. La suite tend vers 0 lorsque n devient très grand, un comportement souvent étudié en Terminale STMG.

Dans le cas particulier où q = 1, la suite est constante - tous les termes sont identiques au premier terme. Ce cas est rarement l'objet d'exercices complexes mais doit être connu pour les contrôles.

🔑 À retenir : Les suites géométriques modélisent de nombreux phénomènes comme l'intérêt composé ou la croissance démographique, ce qui explique leur importance dans le programme de maths Terminale STMG.