Les suites numériques sont partout en maths de terminale !...
Maths516 views·Updated Jun 25, 2026·4 pagesChapitre 1 : Suites Numériques et Récurrence - Introduction
maëlle@maelle_gyn
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Les bases des suites numériques
Tu vas rencontrer deux types de suites : les explicites (où tu peux calculer un directement avec n) et les récurrentes (où chaque terme dépend du précédent). C'est comme avoir soit une formule directe, soit une règle qui dit "pour avoir le suivant, fais ça au précédent".
Pour étudier le comportement d'une suite, tu dois d'abord regarder si elle est monotone. Une suite est croissante quand chaque terme est plus grand que le précédent, décroissante dans le cas contraire, et constante si tous les termes sont égaux.
Tu as plusieurs méthodes pour étudier la monotonie : calculer le signe de la différence un+1 - un, comparer le quotient un+1/un avec 1, ou étudier les variations de la fonction f si un = f(n). Si un+1/un > 1, ta suite croît ; si c'est < 1, elle décroît.
Astuce pratique : Pour les suites géométriques et arithmétiques, utilise directement leurs propriétés plutôt que les calculs généraux !
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Suites bornées et suites particulières
Une suite bornée reste "coincée" entre deux valeurs. Elle est majorée si un ≤ M, minorée si un ≥ m, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Par exemple, sin n ou (-1)ⁿ sont bornées entre -1 et 1.
Les suites arithmétiques suivent la règle un+1 = un + r. Tu peux calculer directement : un = u0 + nr. Si r > 0, ta suite monte ; si r < 0, elle descend. C'est comme un escalier avec des marches régulières !
Les suites géométriques utilisent une multiplication : un+1 = q × un, donc un = u0 × qⁿ. Leur comportement dépend de q et du signe de u0. Avec q > 1 et u0 > 0, ça explose vers l'infini ; avec 0 < q < 1, ça se rapproche de zéro.
Attention : Si q < 0, ta suite géométrique n'est jamais monotone car elle alterne de signe !
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Sommes et récurrence
Le tableau de comportement des suites géométriques selon q et u0 est ton meilleur ami : retiens que si q < 0, ta suite n'est jamais monotone à cause de l'alternance des signes.
Pour calculer des sommes de termes consécutifs, tu as des formules magiques ! Pour une suite arithmétique : nombre de termes × /2. Pour une géométrique : premier terme × /.
Le principe de récurrence suit trois étapes incontournables. D'abord l'initialisation : tu vérifies que ta propriété P(n) est vraie pour le premier terme. Ensuite l'hérédité : tu supposes P(n) vraie et tu démontres que P l'est aussi.
Méthode infaillible : 1+2+3+...+n = n/2 et 1+q+q²+...+qⁿ = / sont tes formules de base !
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Maîtriser le raisonnement par récurrence
Dans l'étape d'hérédité, tu utilises ce que tu as supposé vrai à l'étape précédente pour démontrer le cas suivant. C'est comme des dominos : si le premier tombe et que chaque domino fait tomber le suivant, alors tous tombent !
Ta conclusion doit toujours suivre cette structure : "P(0) est vraie, P(n) est héréditaire, donc pour tout n ∈ ℕ, P(n) est vraie." Sans cette phrase, ta démonstration est incomplète aux yeux de ton correcteur.
Le raisonnement par récurrence est particulièrement efficace pour démontrer des formules de sommes, des inégalités ou des propriétés de divisibilité. Une fois que tu maîtrises la méthode, tu peux l'appliquer à plein de situations différentes !
Piège à éviter : N'oublie jamais l'étape d'initialisation, même si elle semble évidente !
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