Mathematik

Sätze und Transformationen der Analysis

Mittelwertsatz für Integrale

Mathe2,071 views·Updated Jun 16, 2026·4 pages

Mathe ZK 2025: Wichtige Themen erklärt

Lotta@lotta_smhl

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Hier sind die wichtigsten Mathe-Themen für deine ZK 2025! Von...

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Lernzettel ZK 2025
Tangenten- und Normalengleichung.
Tangentengleichung
y=mx+b
f(x)=x³+2x²+4x-5 P(1|2)
1) f(1)=1+2+4-5
=2
2) f'(x)=3x²+4x+4

Tangenten- und Normalengleichungen

Du kennst das: Eine Tangente berührt den Graphen genau an einem Punkt. Um die Tangentengleichung zu finden, brauchst du nur drei Schritte.

Zuerst berechnest du den y-Wert des Berührpunkts mit f(x). Dann bestimmst du die Steigung mit der ersten Ableitung f'(x). Zum Schluss setzt du alles in y = mx + b ein und löst nach b auf.

Die Normalengleichung funktioniert ähnlich, aber die Steigung ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung: m_t × m_n = -1. Das bedeutet, die Normale steht senkrecht zur Tangente.

Merktipp: Bei der pq-Formel für Nullstellen einfach x = -p/2 ± √ $(p/2)² - q$ anwenden!

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Wendestellen und Extrempunkte

Extrempunkte findest du dort, wo Funktionen ihre Höchst- oder Tiefstpunkte haben. Der Trick: Setze die erste Ableitung f'(x) = 0 und löse die Gleichung.

Für die Unterscheidung zwischen Hoch- und Tiefpunkt nutzt du das Vorzeichenwechselkriterium. Wechselt f'(x) von + nach -, hast du einen Hochpunkt. Von - nach + bedeutet Tiefpunkt.

Wendestellen erkennst du an der zweiten Ableitung: f''(x) = 0 setzen und prüfen, ob f'''(x) ≠ 0 ist. Hier ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion.

Prüfungstipp: Vergiss nie, die y-Koordinaten zu berechnen, indem du die x-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzt!

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Lokale und globale Extrempunkte

Lokale Extrempunkte sind nur in ihrer unmittelbaren Umgebung die höchsten oder tiefsten Punkte. Globale Extrempunkte sind dagegen die absoluten Champions im gesamten Definitionsbereich.

Bei beschränkten Intervallen musst du unbedingt eine Randbetrachtung machen. Das bedeutet: Berechne auch die Funktionswerte an den Intervallgrenzen und vergleiche sie mit den lokalen Extrempunkten.

Der größte Funktionswert wird zum globalen Maximum, der kleinste zum globalen Minimum. Manchmal liegt das globale Extremum gar nicht bei einem lokalen Extrempunkt, sondern am Rand des Intervalls.

Achtung: Die Randbetrachtung wird in Klausuren oft vergessen - dabei bringt sie entscheidende Punkte!

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Vektoren und Geometrie

Vektoren sind super praktisch für Abstände und geometrische Figuren. Die Länge eines Vektors berechnest du mit |v⃗| = √ $x² + y² + z²$ - wie der Satz des Pythagoras in 3D.

Für Dreiecksuntersuchungen berechnest du alle drei Seitenlängen. Sind zwei Seiten gleich, ist es gleichschenklig. Gilt a² = b² + c², dann ist es rechtwinklig.

Parallelogramme erkennst du daran, dass gegenüberliegende Seiten parallel sind: AB⃗ = DC⃗. Den Mittelpunkt einer Strecke findest du mit OM⃗ = OA⃗ + ½AB⃗.

Rechentrick: Bei Abständen zwischen Punkten einfach die Koordinaten voneinander abziehen und dann die Vektorlänge berechnen!

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Vektoren sind super praktisch für Abstände und geometrische Figuren. Die Länge eines Vektors berechnest du mit |v⃗| = √ $x² + y² + z²$ - wie der Satz des Pythagoras in 3D.

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