Punkte einer Funktion

Ein Punkt P$xp/yp$ liegt genau dann auf dem Graphen einer Funktion f(x), wenn yp = f(xp) gilt. Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Funktion liegt, gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.
2. Den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen und das Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes vergleichen.

Example: Für die Funktion f(x) = 1/2x² - 2 und den Punkt P(4/7,5): f(4) = 1/2 · 4² - 2 = 6 ≠ 7,5 Der Punkt P liegt also nicht auf dem Graphen von f(x).

Highlight: Wenn eine direkte Berechnung nicht möglich ist, kann man den y-Wert durch den quadrierten x-Wert teilen, um die Zugehörigkeit eines Punktes zur Funktion zu überprüfen.

Die quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c. Die rein quadratische Funktion f(x) = ax² hat ihren Scheitelpunkt im Ursprung und ist um den Faktor a gestreckt oder gestaucht.

Eigenschaften der quadratischen Funktion:

• Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten.
• Für -1 < a < 1 ist die Parabel breiter als die Normalparabel, sonst schmaler.

Verschiebungen der Parabel:

1. Verschiebung in y-Richtung: f(x) = ax² + v
   • v > 0: Verschiebung nach oben
   • v < 0: Verschiebung nach unten
2. Verschiebung in x-Richtung: f(x) = a$x+u$²
   • u > 0: Verschiebung nach links
   • u < 0: Verschiebung nach rechts

Vocabulary: Scheitelpunktform: f(x) = a$x+u$² + v mit Scheitelpunkt S$-u/v$

Die Umwandlung von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form erfolgt durch Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der Terme.

Highlight: Aus der allgemeinen Form lässt sich nur der Streckfaktor a direkt ablesen. Der Scheitelpunkt ist nicht mehr unmittelbar erkennbar.

Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform

Die Umwandlung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform erfolgt durch quadratische Ergänzung. Hier ist eine Anleitung:

1. Den Faktor a ausklammern
2. Die Zahl vor x halbieren $b/2a$
3. Quadratisch ergänzen (Term hinzufügen und wieder abziehen)
4. Binomische Formel anwenden
5. v-Wert berechnen

Example: f(x) = 2x² + 9x + 15 wird zu f(x) = 2$x + 4,5$² + 4,875

Highlight: Die quadratische Ergänzung ist ein wichtiger Schritt, um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion zu bestimmen.

Nullstellen quadratischer Funktionen

Nullstellen sind die x-Werte, bei denen die Funktion den y-Wert 0 annimmt. Es gibt verschiedene Methoden, um Nullstellen zu berechnen:

1. Für f(x) = ax²: x = 0
2. Für f(x) = ax² + c: x = ±√$-c/a$
3. Für f(x) = $ax + b$²: x = -b/a
4. Für f(x) = $x-a$$x-b$: x = a oder x = b
5. Für f(x) = x² + px + q: x = -p/2 ± √$(p/2)² - q$
6. Für f(x) = ax² + bx: x = 0 oder x = -b/a
7. Für f(x) = ax² + bx + c: x = $-b ± √(b² - 4ac)$ / (2a) (Mitternachtsformel)

Vocabulary: Mitternachtsformel: Die allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Highlight: Die Wahl der Methode hängt von der Form der quadratischen Funktion ab. Die Mitternachtsformel ist universell anwendbar, aber nicht immer die effizienteste Methode.

Vieta'sche Formeln und Lösungsverhalten

Die Vieta'schen Formeln stellen einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und ihren Lösungen her:

x₁ + x₂ = -b/a x₁ · x₂ = c/a

Das Lösungsverhalten einer quadratischen Gleichung hängt von der Diskriminante D = b² - 4ac ab:

• D > 0: zwei reelle Lösungen
• D = 0: eine reelle Lösung (doppelte Nullstelle)
• D < 0: keine reelle Lösung

Highlight: Die Vieta'schen Formeln und die Diskriminante sind wichtige Werkzeuge zur Analyse quadratischer Gleichungen ohne explizite Berechnung der Nullstellen.

Grundlagen von Funktionen

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Funktionen darzustellen:

1. Mit Worten beschreiben
2. Als Funktionsvorschrift angeben
3. Graphisch in einem Koordinatensystem darstellen
4. In einer Wertetabelle auflisten
5. Als Funktionsgleichung formulieren

Definition: Eine Funktion ordnet jedem Wert der Eingangsgröße (x) genau einen Wert der Ausgangsgröße (y) zu.

Für quadratische Funktionen gibt es drei wichtige Darstellungsformen:

• Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
• Scheitelpunktform: f(x) = a$x-u$² + v
• Linearfaktorzerlegung (Nullpunktform): f(x) = a$x-x₁$$x-x₂$

Highlight: Die Wahl der Darstellungsform hängt davon ab, welche Eigenschaften der Funktion betont werden sollen.