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Lineare Funktionen leicht verständlich erklärt

Marie Schweighofer@marieschweighofer

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Lineare Funktionen sind einer der wichtigsten Grundbausteine der Mathematik -...

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# F10-Lineare Funktionen
Samstag, 30. Oktober 2021 11:34

Funktionsstern einer linearen Funktion:
$f(x)=kx+d$
K- Steigung
d= Funktionswert a

Grundlagen linearer Funktionen

Lineare Funktionen haben immer die Form f(x) = kx + d. Das k ist die Steigung (wie steil die Gerade ist) und d zeigt dir, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

Ein paar Beispiele: Bei f(x) = -3x + 3 ist k = -3 und d = 3. Bei g(x) = -2/3x - 3 ist k = -2/3 und d = -3. Du siehst das Muster?

Wenn d ≠ 0 ist, nennst du die Funktion inhomogen. Ist d = 0, dann ist sie homogen. Das klingt komplizierter als es ist!

Merktipp: Das k bestimmt, ob deine Gerade steigt (k > 0) oder fällt (k < 0). Das d zeigt dir sofort einen Punkt auf der Geraden: (0|d)!

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Punkte auf Geraden prüfen und Wertetabellen

Du willst checken, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt? Einfach die x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen und schauen, ob das richtige y rauskommt.

Beispiel: Liegt P(4|6) auf y = -2x + 3? Einsetzen: y = -2·4 + 3 = -5. Nein, liegt nicht drauf, denn 6 ≠ -5!

Nicht jede Gerade ist übrigens eine lineare Funktion. Senkrechte Geraden fallen raus, weil dort einem x-Wert nicht genau ein y-Wert zugeordnet wird.

Prüf-Trick: Setze einfach die x-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Kommt die richtige y-Koordinate raus? Dann liegt der Punkt auf der Geraden!

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Steigung berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen

Die Steigung k berechnest du mit dem Differenzquotienten: k = $y₂ - y₁$ / $x₂ - x₁$ . Das ist eigentlich nur "Höhenunterschied durch Längenunterschied".

Hast du zwei Punkte A(3|1) und B(5|4), dann ist k = (4-1)/(5-3) = 3/2. Jetzt noch einen Punkt in y = kx + d einsetzen: 1 = 3/2 · 3 + d, also d = -3,5.

Du kannst den Funktionsgraphen entweder über eine Wertetabelle oder mit dem Steigungsdreieck zeichnen. Bei steigenden Geraden (k > 0) geht's nach rechts oben, bei fallenden (k < 0) nach rechts unten.

Zeitsparer: Wenn du zwei Punkte hast, brauchst du nur die Steigung ausrechnen und einen Punkt einsetzen. Fertig ist die Funktionsgleichung!

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Nullstellen und Spurpunkte finden

Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der x-Achse. Du findest sie, indem du y = 0 setzt und nach x auflöst. Bei y = -3x - 5 wird das: 0 = -3x - 5, also x = -5/3.

Der Spurpunkt Sy ist der Schnittpunkt mit der y-Achse - das ist einfach der Punkt (0|d)! Bei y = -3x - 5 ist das Sy(0|-5).

Diese beiden Punkte reichen übrigens schon zum Zeichnen der Geraden. Nullstelle und y-Achsenabschnitt - mehr brauchst du nicht!

Faustregel: Nullstelle = y gleich null setzen. Spurpunkt Sy = x gleich null setzen (oder einfach d ablesen)!

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Parallele und normale Geraden

Parallele Geraden haben die gleiche Steigung: k₁ = k₂. Sie laufen nebeneinander her, ohne sich zu schneiden.

Normale Geraden (senkrecht zueinander) haben Steigungen, die zueinander negative Kehrwerte sind: k₁ = -1/k₂. Wenn eine Gerade k = -2 hat, dann hat die Normale k = 1/2.

Willst du eine Parallele durch einen bestimmten Punkt? Nimm die gleiche Steigung und berechne das neue d. Für eine Normale nimmst du den negativen Kehrwert der Steigung.

Merkspruch: Parallel = gleiche Steigung. Normal = negativer Kehrwert der Steigung!

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Schnittpunkte von Geraden berechnen

Schnittpunkte findest du, indem du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzt. Aus f(x) = 3x + 5 und g(x) = 2x - 3 wird: 3x + 5 = 2x - 3.

Löse nach x auf: 3x - 2x = -3 - 5, also x = -8. Jetzt setzt du x = -8 in eine der beiden Gleichungen ein: y = 3·(-8) + 5 = -19.

Der Schnittpunkt ist also S(-8|-19). Du kannst zur Kontrolle auch die andere Gleichung verwenden - da muss das gleiche y rauskommen!

Kontroll-Tipp: Setze dein x in beide ursprünglichen Gleichungen ein. Kommt zweimal das gleiche y raus? Perfekt, dann stimmt dein Schnittpunkt!

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Lineare Funktionen leicht verständlich erklärt

Marie Schweighofer@marieschweighofer

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Lineare Funktionen sind einer der wichtigsten Grundbausteine der Mathematik - und ehrlich gesagt auch ziemlich logisch, wenn man sie erst mal verstanden hat! Du lernst hier, wie du mit Geraden rechnest, ihre Gleichungen aufstellst und ihre wichtigsten Eigenschaften bestimmst.

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Grundlagen linearer Funktionen

Lineare Funktionen haben immer die Form f(x) = kx + d. Das k ist die Steigung (wie steil die Gerade ist) und d zeigt dir, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

Ein paar Beispiele: Bei f(x) = -3x + 3 ist k = -3 und d = 3. Bei g(x) = -2/3x - 3 ist k = -2/3 und d = -3. Du siehst das Muster?

Wenn d ≠ 0 ist, nennst du die Funktion inhomogen. Ist d = 0, dann ist sie homogen. Das klingt komplizierter als es ist!

Merktipp: Das k bestimmt, ob deine Gerade steigt (k > 0) oder fällt (k < 0). Das d zeigt dir sofort einen Punkt auf der Geraden: (0|d)!

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Punkte auf Geraden prüfen und Wertetabellen

Du willst checken, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt? Einfach die x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen und schauen, ob das richtige y rauskommt.

Beispiel: Liegt P(4|6) auf y = -2x + 3? Einsetzen: y = -2·4 + 3 = -5. Nein, liegt nicht drauf, denn 6 ≠ -5!

Nicht jede Gerade ist übrigens eine lineare Funktion. Senkrechte Geraden fallen raus, weil dort einem x-Wert nicht genau ein y-Wert zugeordnet wird.

Prüf-Trick: Setze einfach die x-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Kommt die richtige y-Koordinate raus? Dann liegt der Punkt auf der Geraden!

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Steigung berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen

Die Steigung k berechnest du mit dem Differenzquotienten: k = $y₂ - y₁$ / $x₂ - x₁$ . Das ist eigentlich nur "Höhenunterschied durch Längenunterschied".

Hast du zwei Punkte A(3|1) und B(5|4), dann ist k = (4-1)/(5-3) = 3/2. Jetzt noch einen Punkt in y = kx + d einsetzen: 1 = 3/2 · 3 + d, also d = -3,5.

Zeitsparer: Wenn du zwei Punkte hast, brauchst du nur die Steigung ausrechnen und einen Punkt einsetzen. Fertig ist die Funktionsgleichung!

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Nullstellen und Spurpunkte finden

Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der x-Achse. Du findest sie, indem du y = 0 setzt und nach x auflöst. Bei y = -3x - 5 wird das: 0 = -3x - 5, also x = -5/3.

Der Spurpunkt Sy ist der Schnittpunkt mit der y-Achse - das ist einfach der Punkt (0|d)! Bei y = -3x - 5 ist das Sy(0|-5).

Diese beiden Punkte reichen übrigens schon zum Zeichnen der Geraden. Nullstelle und y-Achsenabschnitt - mehr brauchst du nicht!

Faustregel: Nullstelle = y gleich null setzen. Spurpunkt Sy = x gleich null setzen (oder einfach d ablesen)!

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Parallele und normale Geraden

Parallele Geraden haben die gleiche Steigung: k₁ = k₂. Sie laufen nebeneinander her, ohne sich zu schneiden.

Normale Geraden (senkrecht zueinander) haben Steigungen, die zueinander negative Kehrwerte sind: k₁ = -1/k₂. Wenn eine Gerade k = -2 hat, dann hat die Normale k = 1/2.

Willst du eine Parallele durch einen bestimmten Punkt? Nimm die gleiche Steigung und berechne das neue d. Für eine Normale nimmst du den negativen Kehrwert der Steigung.

Merkspruch: Parallel = gleiche Steigung. Normal = negativer Kehrwert der Steigung!

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Schnittpunkte von Geraden berechnen

Schnittpunkte findest du, indem du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzt. Aus f(x) = 3x + 5 und g(x) = 2x - 3 wird: 3x + 5 = 2x - 3.

Löse nach x auf: 3x - 2x = -3 - 5, also x = -8. Jetzt setzt du x = -8 in eine der beiden Gleichungen ein: y = 3·(-8) + 5 = -19.

Der Schnittpunkt ist also S(-8|-19). Du kannst zur Kontrolle auch die andere Gleichung verwenden - da muss das gleiche y rauskommen!

Kontroll-Tipp: Setze dein x in beide ursprünglichen Gleichungen ein. Kommt zweimal das gleiche y raus? Perfekt, dann stimmt dein Schnittpunkt!