Quadratische Funktionen: Parabeln und Umformungsarten

Quadratische Funktionen erzeugen Parabeln, die in verschiedenen Formen dargestellt werden können:

• Normalparabel: f(x) = x²
• Verschobene Normalparabel: f(x) = x² + 3
• Scheitelpunktform: f(x) = $x-d$² + e mit Scheitelpunkt S(d|e)
• Normalform: f(x) = x² + px + q

Bei der Umwandlung zwischen diesen Formen helfen uns:

• Binomische Formeln
• Quadratische Ergänzung

Verschiedene Arten von Parabeln entstehen durch Verschiebungen:

• y = x² + c → Verschiebung nach oben (c > 0) oder unten (c < 0), S(0|c)
• y = $x+d$² → Verschiebung nach links (d > 0) oder rechts (d < 0), S$-d|0$
• y = $x+d$² + c → Kombination beider Verschiebungen, S$-d|c$

Wichtig zu merken: Bei der Verschiebung einer Parabel in x-Richtung beachte das negative Vorzeichen: Bei y = $x+d$² liegt der Scheitelpunkt bei S$-d|0$, nicht bei S(d|0)!

Beispiel für Umformung: Gegeben sei f(x) = $x-2$² - 7 mit S(2|-7) Umformung in Normalform: f(x) = x² - 4x + 4 - 7 = x² - 4x - 3

Übungsbeispiel: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform y = $x+1$² + 3 hat den Scheitelpunkt S(-1|3). Wandle diese in die Normalform um und bestimme die Parameter p und q.

Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform

Die Umwandlung zwischen den beiden Darstellungsformen quadratischer Funktionen ist ein wichtiger Prozess:

Von der Scheitelpunktform zur Normalform:

• Scheitelpunktform: y = $x+d$² + c
• Normalform: y = x² + px + q

Beispiel: Gegeben: y = $x-1$² + 3 Umformung:

1. Ausmultiplizieren: y = x² - 2·x·1 + 1² + 3
2. Vereinfachen: y = x² - 2x + 1 + 3 = x² - 2x + 4

Nullstellenberechnung:

Bei quadratischen Funktionen in Normalform $f(x) = x² + px + q$ gibt es mehrere Wege:

1. Für lineare Funktionen (wenn die quadratische Funktion vereinfacht werden kann):

   • Gegeben: f(x) = -2x + 4
   • Setze f(xₙ) = 0
   • 0 = -2xₙ + 4
   • xₙ = 2

2. Für quadratische Funktionen - PQ-Formel:

   • Anwendbar nur wenn x² den Koeffizienten 1 hat
   • Formel: x₁/₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$

Merke: Die PQ-Formel wird nur angewendet, wenn der Koeffizient vor x² gleich 1 ist. Ist das nicht der Fall, musst du die Gleichung zuerst durch den Koeffizienten von x² teilen.

Übungsaufgabe: Berechne die Nullstellen der Funktion f(x) = x² - 2x + 4 mit Hilfe der PQ-Formel. Hat diese Funktion reelle Nullstellen?

Umwandlungstechniken für quadratische Funktionen

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Um die Scheitelpunktform in die Normalform umzuwandeln, nutzen wir die binomischen Formeln:

1. $a+b$² = a² + 2ab + b²
2. $a-b$² = a² - 2ab + b²
3. $a+b$$a-b$ = a² - b²

Beispiel: Gegeben sei f(x) = $x+2$² + 1 mit Scheitelpunkt S(-2|1)

Umwandlung:

• f(x) = x² + 2·x·2 + 2² + 1
• f(x) = x² + 4x + 4 + 1
• f(x) = x² + 4x + 5

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

Hier nutzen wir die quadratische Ergänzung:

Beispiel 1: f(x) = x² + 4x - 5

1. Wir ergänzen $p/2$² und ziehen es wieder ab:

   • f(x) = x² + 4x + (4/2)² - (4/2)² - 5
   • f(x) = x² + 4x + 4 - 4 - 5
   • f(x) = $x+2$² - 9

2. Der Scheitelpunkt ist S(-2|-9)

Beispiel 2: y = x² - 6x - 8

1. Wir ergänzen (6/2)² und ziehen es wieder ab:

   • y = x² - 6x + (6/2)² - (6/2)² - 8
   • y = x² - 6x + 9 - 9 - 8
   • y = $x-3$² - 17

2. Der Scheitelpunkt ist S(3|-17)

Merkhilfe: Bei der quadratischen Ergänzung nimmst du immer die Hälfte des linearen Koeffizienten, quadrierst diesen Wert und ergänzt die Gleichung damit.

Übungstipp: Die Umwandlung zwischen Normalform und Scheitelpunktform ist eine häufige Aufgabe in Prüfungen. Sie hilft dir, den Scheitelpunkt einer Parabel zu finden, was wiederum wichtig für die grafische Darstellung ist.