Mathematik

Gleichungen der Kegelschnitte

Parabelgleichung

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Übungen zu Parabeln – Klassenarbeit mit Lösungen

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1. Großer Leistungsnachweis in Mathematik

Name:
Aufgabe 1: In der rechten
Abbildung siehst du drei
Parabeln in einem
b)
Koordin

Parabeln erkennen und Scheitelpunktform bestimmen

Du siehst drei verschiedene Parabeln im Koordinatensystem und sollst ihre Gleichungen in Scheitelpunktform angeben. Die allgemeine Form lautet: y = a $x - d$ ² + e, wobei der Scheitelpunkt bei S(d|e) liegt.

Bei der ersten Parabel erkennst du den Scheitelpunkt bei S(0|2), also ist die Gleichung y = x² + 2. Die zweite Parabel hat ihren tiefsten Punkt bei S(-3|-1) und ist gestreckt, daher y = 2 $x + 3$ ² - 1.

Die dritte Parabel öffnet sich nach unten (negatives a) mit Scheitelpunkt S(4|3). Ihre Gleichung lautet y = -½ $x - 4$ ² + 3.

Merktipp: Der Scheitelpunkt lässt sich direkt aus der Scheitelpunktform ablesen: S(d|e) aus y = a $x - d$ ² + e.

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Parabeln zeichnen und Nullstellen finden

Beim Zeichnen der Parabel y = $x - 2$ ² - 1 erkennst du sofort den Scheitelpunkt S(2|-1). Die Parabel öffnet sich nach oben und ist um 2 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach unten verschoben.

Die Nullstellen $Schnittpunkte mit der x-Achse$ findest du, indem du y = 0 setzt: 0 = $x - 2$ ² - 1. Das ergibt die Nullstellen x₁ = 1 und x₂ = 3.

Bei der Spiegelung am Ursprung wird aus jedem Punkt P(x|y) der Punkt P' $-x|-y$ . Die gespiegelte Parabel hat dann die Gleichung y = - $(-x) - 2$ ² - (-(-1)) = - $x + 2$ ² - 1.

Wichtig: Nullstellen findest du immer, indem du y = 0 setzt und die Gleichung nach x auflöst.

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Umformen zwischen verschiedenen Parabelformen

Um von der Normalform zur Scheitelpunktform zu gelangen, verwendest du die quadratische Ergänzung. Bei y = x² - 8x + 18 nimmst du die Hälfte des linearen Koeffizienten (-8), quadrierst sie und addierst/subtrahierst sie geschickt.

Für y = x² - 8x + 18 wird das zu y = $x - 4$ ² + 2 mit Scheitelpunkt S(4|2). Bei negativem Faktor vor x² wie in y = -2x² + 12x - 20 klammerst du zuerst den Faktor aus: y = -2 $x² - 6x + 10$ .

Nach der quadratischen Ergänzung erhältst du y = -2 $x - 3$ ² - 2 mit Scheitelpunkt S(3|-2). Diese Technik funktioniert immer gleich - nur die Vorzeichen musst du beachten.

Profi-Trick: Bei der quadratischen Ergänzung immer erst den Faktor vor x² ausklammern, dann ergänzen!

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Nullstellen und y-Achsenabschnitt bestimmen

Bei der faktorisierten Form y = ½ $x + 2$ $x - 3$ kannst du die Nullstellen direkt ablesen: x₁ = -2 und x₂ = 3. Dort werden die Faktoren null und damit die ganze Funktion.

Den Scheitelpunkt findest du in der Mitte zwischen den Nullstellen: x = (-2 + 3)/2 = 0,5. Eingesetzt ergibt das y = ½(0,5 + 2)(0,5 - 3) = -3,125. Also S(0,5|-3,125).

Für den y-Achsenabschnitt setzt du x = 0 in die ursprüngliche Gleichung ein: y = ½(0 + 2)(0 - 3) = ½ · 2 · (-3) = -3. Der Graph schneidet die y-Achse bei (0|-3).

Merkregel: Bei faktorisierter Form sind die Nullstellen sofort erkennbar - praktisch für Klassenarbeiten!

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Reale Anwendung: Der Berliner Bogen

Der Berliner Bogen in Hamburg zeigt, wie Parabeln in der Architektur verwendet werden. Mit einer Breite von 70 Metern und einer Höhe von 36 Metern kannst du ein Koordinatensystem aufstellen und die Parabelgleichung bestimmen.

Der Scheitelpunkt liegt bei S(35|36) - genau in der Mitte der 70 Meter breiten Front. Die Fußpunkte F₁(0|0) und F₂(70|0) zeigen, wo das Gebäude den Boden berührt.

Mit der Nullstellenform y = a $x - 0$ $x - 70$ und dem Scheitelpunkt bestimmst du den Parameter a: 36 = a · 35 · (-35) = -1225a. Daraus folgt a ≈ -0,029. Die finale Gleichung lautet y = -0,029x $x - 70$ .

Real-World-Tipp: Parabeln beschreiben nicht nur mathematische Probleme, sondern auch echte Bauwerke um uns herum!

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Für den y-Achsenabschnitt setzt du x = 0 in die ursprüngliche Gleichung ein: y = ½(0 + 2)(0 - 3) = ½ · 2 · (-3) = -3. Der Graph schneidet die y-Achse bei (0|-3).

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