Subjects

Knowunity AI

More

Careers

Creator Program

Open the App

Subjects

Mathematik

Mathematische Additionsoperationen

Vektoraddition

MatheMathe2,151 views·Updated Jun 16, 2026·7 pages

Einführung in Vektoren für die 11. Klasse 🧮

user profile picture
anna@anna_5818

Vektoren sind überall um uns herum - von der Geschwindigkeit...

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
1 / 7
1
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Was sind Vektoren?

Stell dir vor, du gibst jemandem eine Wegbeschreibung: "Geh 3 Schritte nach rechts und 4 nach oben." Genau das ist ein Vektor - ein Pfeil mit einer bestimmten Richtung und Länge!

Ein Vektor wie a⃗=(3 4)\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} zeigt dir nicht nur wohin du gehst, sondern auch wie weit. Die Länge (oder Betrag) berechnest du mit dem Satz des Pythagoras: ∣a⃗∣=32+42=5|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.

Bei dreidimensionalen Vektoren funktioniert das genauso: b⃗=(2 −2 1)\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} hat die Länge ∣b⃗∣=22+(−2)2+12=3|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3. Vergiss nicht: Negative Zahlen werden beim Quadrieren positiv!

Merktipp: Die Länge eines Vektors ist immer positiv - wie bei einem echten Lineal!

2
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Gegenvektor

Der Gegenvektor ist wie dein Schatten - er zeigt in die komplett entgegengesetzte Richtung, hat aber dieselbe Länge. Wenn a⃗=(3 2)\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \ 2 \end{pmatrix} ist, dann ist −a⃗=(−3 −2)-\vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \ -2 \end{pmatrix}.

Bildlich gesprochen: Wenn der ursprüngliche Vektor nach rechts oben zeigt, dann zeigt sein Gegenvektor nach links unten. Die Länge bleibt dabei völlig unverändert - nur die Richtung kehrt sich um.

Das ist super praktisch für Subtraktionen, denn a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}). Du verwandelst einfach jede Subtraktion in eine Addition mit dem Gegenvektor!

Praxistipp: Bei Gegenventoren einfach alle Vorzeichen umdrehen - fertig!

3
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Vektoren addieren

Vektoraddition ist wie Lego bauen - du hängst einfach die Pfeile aneinander! Rechnerisch addierst du die entsprechenden Koordinaten: (2 4)+(4 1)=(6 5)\begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \ 5 \end{pmatrix}.

Grafisch stellst du dir vor, dass du erst den Vektor a⃗\vec{a} gehst, dann von dessen Spitze aus den Vektor b⃗\vec{b}. Der direkte Weg vom Start zum Endpunkt ist dein Summenvektor.

Diese Methode nennt man auch Parallelogramm-Regel oder Dreiecks-Regel. Egal wie viele Vektoren du addierst - hänge sie einfach Pfeilspitze an Pfeilende aneinander.

Visualisierung: Denk an einen Stadtplan - erst 2 Blöcke nach rechts, dann 4 nach oben. Der direkte Weg ist deine Vektorsumme!

4
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Vektoren subtrahieren

Bei der Vektorsubtraktion rechnest du einfach: (2 1)−(4 1)=(−2 0)\begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ 0 \end{pmatrix}. Du ziehst die entsprechenden Koordinaten voneinander ab.

Der Trick: Subtraktion ist eigentlich Addition mit dem Gegenvektor! Also a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}). Du drehst b⃗\vec{b} um und addierst dann ganz normal.

Grafisch hängst du den umgedrehten Vektor −b⃗-\vec{b} an die Spitze von a⃗\vec{a}. Das Ergebnis zeigt vom Ursprung zur neuen Pfeilspitze.

Eselsbrücke: Subtraktion = Addition des Gegenvektors. Einfach Vorzeichen umdrehen und addieren!

5
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Verbindungsvektor

Der Verbindungsvektor ab⃗\vec{ab} zeigt dir den direkten Weg von der Spitze des Vektors a⃗\vec{a} zur Spitze des Vektors b⃗\vec{b}. Die Formel ist: ab⃗=b⃗−a⃗\vec{ab} = \vec{b} - \vec{a}.

Merke dir die Reihenfolge: Zielvektor minus Startvektor. Willst du von a⃗\vec{a} nach b⃗\vec{b}, dann rechnest du b⃗−a⃗=(4 1)−(1 2)=(3 −1)\vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix}.

Das funktioniert wie bei Koordinaten auf einer Karte - um von Punkt A zu Punkt B zu kommen, ziehst du die Koordinaten von A von denen von B ab.

Merkregel: "Wohin minus Woher" - Zielvektor minus Startvektor!

6
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Vielfaches eines Vektors

Einen Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren ist wie das Verstellen eines Fernglas-Zooms. $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix}$ - der Vektor wird doppelt so lang!

Die Richtung bleibt gleich, nur die Länge ändert sich. Mit $0,5 \cdot \vec{a}verku¨rztduihnaufdieHa¨lfte,mit verkürzt du ihn auf die Hälfte, mit 3 \cdot \vec{a}$ machst du ihn dreimal so lang.

Negative Faktoren drehen zusätzlich die Richtung um: −2⋅a⃗-2 \cdot \vec{a} ist doppelt so lang wie der ursprüngliche Vektor, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung.

Anschaulich: Stell dir vor, du gehst denselben Weg, aber in doppeltem oder halbem Tempo!

7
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Lineare Abhängigkeit

Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in dieselbe (oder entgegengesetzte) Richtung zeigen - also wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Das prüfst du mit der Frage: Gibt es ein rr, sodass a⃗=r⋅b⃗\vec{a} = r \cdot \vec{b}?

Bei a⃗=(2 4 10)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ 10 \end{pmatrix} und b⃗=(1 2 5)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 5 \end{pmatrix} rechnest du: $2 = r \cdot 1 \Rightarrow r = 2,, 4 = r \cdot 2 \Rightarrow r = 2,, 10 = r \cdot 5 \Rightarrow r = 2$.

Da überall r=2r = 2 rauskommt, sind die Vektoren linear abhängig. Wäre das rr unterschiedlich, wären sie linear unabhängig und würden in verschiedene Richtungen zeigen.

Klausur-Tipp: Löse jede Zeile nach rr auf. Kommt überall dasselbe raus? → Linear abhängig!

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Similar Content

More

Most popular content: Vektoraddition

9
MatheMathe

Vektoren im Raum

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektoren, einschließlich Ortsvektoren, Vektoraddition und -subtraktion in 2D und 3D. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Vektoroperationen und deren Eigenschaften, ideal für Studierende der Multivariablen Analysis. Lernen Sie, wie man Vektoren im Koordinatensystem effektiv verwendet.

1299810
MatheMathe

Kollineare und Komplanare Vektoren

Erfahre alles über kollineare und komplanare Vektoren, ihre Eigenschaften und wie man mit ihnen rechnet. Diese Zusammenfassung behandelt Vektoren, Linearkombinationen, Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

1220,449560
MatheMathe

Vektoren und Geometrie

Diese Klausur behandelt die Grundlagen der Vektorgeometrie, einschließlich der Berechnung von Abständen, der Orthogonalität von Vektoren und der Eigenschaften von Quadern und Würfeln. Ideal für Schüler der Q1 GK, die sich auf Prüfungen vorbereiten. Enthält sowohl einen taschenrechnerfreien Teil als auch einen Teil mit Taschenrechner. Punkte: 15.

114,833109
MatheMathe

Vektoren: Berechnung & Eigenschaften

Erfahren Sie alles über Vektoren: Berechnung des Abstands zwischen Punkten, Bestimmung von Vektoren im 3D-Koordinatensystem, sowie Addition und Multiplikation von Vektoren mit anschaulichen Beispielen. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

117445
MatheMathe

Vektoren: Grundlagen und Operationen

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektoren im Koordinatensystem. Lernen Sie, wie man Vektoren addiert, subtrahiert und multipliziert, sowie die Berechnung von Koordinaten, Längen und Mittelpunkten. Diese Zusammenfassung behandelt auch Kolinearität und Linearkombinationen. Ideal für Schüler der Stufen 11-12.

113034
MatheMathe

Vektorrechnung im Raum

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung im Raum. Diese Zusammenfassung behandelt die Addition und Subtraktion von Vektoren, Skalarmultiplikation, die Parameterform von Geraden, sowie die gegenseitige Lage von Geraden. Erfahren Sie, wie man den Abstand zwischen Punkten im dreidimensionalen Koordinatensystem berechnet und geradlinige Bewegungen modelliert. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

111,26530
MatheMathe

Vektoren: Grundlagen und Berechnungen

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung mit diesem umfassenden Überblick. Erfahren Sie mehr über die Multiplikation von Vektoren, den Betrag, die Addition und Subtraktion, sowie die Eigenschaften kollinearer Vektoren. Ideal für Schüler im Grundkurs Mathematik. Enthält wichtige Gesetze wie das Kommutativ- und Assoziativgesetz.

137075
MatheMathe

Vektoren: Abitur Essentials

Entdecke die wichtigsten Konzepte zu Vektoren für dein Abitur: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Skalarprodukt, Kolinearität, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen sowie die Bestimmung von Längen und Mittelpunkten. Ideal für eine gezielte Prüfungsvorbereitung.

1113,865617
MatheMathe

Lagebeziehungen von Vektoren

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung, einschließlich der Lagebeziehungen zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen. Erfahren Sie mehr über kollineare Vektoren, Vektoraddition, Skalarprodukt und die Bestimmung von Winkeln zwischen Vektoren. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Konzepte und Formeln der Vektorrechnung.

114,435251

Most popular content in Mathe

9
MatheMathe

ZP10 Mathe Zusammenfassung NRW

Lernzettel für die ZP10 Mathe in NRW mit allen Themen außer Sinusfunktionen.

1061,9114,842
MatheMathe

Mathe ZP10 Zusammenfassung NRW

Zusammenfassung der Mathethemwn für die ZP10 NRW + Formelsammlung

1010,174518
MatheMathe

Mathematik Themenübersicht ZP 2024

Umfassende Zusammenfassung aller relevanten Mathematikthemen für die zentrale Prüfung 2024. Behandelt werden unter anderem Exponentialgleichungen, Prozentrechnung, Zinsrechnung, geometrische Berechnungen und statistische Grundlagen. Ideal für Schüler zur gezielten Vorbereitung auf die Abschlussprüfung.

1027,7411,142
MatheMathe

Prüfungsvorbereitung MSA Klasse 10

Zusammenfassung Mathe für den MSA Klasse 10

106,570156
MatheMathe

Mathematik ZP10 Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für die Mathematikprüfung ZP10 am Gymnasium. Behandelt zentrale Themen wie Stochastik, quadratische und exponentielle Funktionen, Geometrie, und Zinsrechnung. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen und zur Vertiefung mathematischer Konzepte.

1127,1042,466
MatheMathe

Alles was du für die ZP10 können musst! (VOLLSTÄNDIG) für Gymnasium und Realschule

Die Mathe ZP ist machbar. Durch die große Anzahl an Themen die dran kommen könnten, verliert man schnell den Überblick. Also habe ich von den kleinsten Themen bis hin zu den größten alles zusammengefasst <3.

104,988118
MatheMathe

Lernzettel ZP 10 Mathe

Lernzettel von der ZP 10

105,328116
MatheMathe

Mathematik Abitur Themenübersicht

Umfassende Übersicht aller Themen für das Mathe-Abitur: von Analysis über Kurvendiskussion bis hin zu Integralrechnung und Stochastik. Ideal für die Prüfungsvorbereitung mit detaillierten Inhalten zu analytischer Geometrie, e-Funktionen, Extremwertaufgaben und mehr.

117,874228
MatheMathe

Mathe Abi26 Zusammenfassung NRW

Dient zur Vorbereitung auf das Abitur 2026 im Grundkurs Mathematik.

116,321196

Most popular content

9
DeutschDeutsch

Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

1148,034728
DeutschDeutsch

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

1254,769921
DeutschDeutsch

Der zerbrochne Krug

Ausführliche Lernzettel zu: Basisdaten, Handlung, ausführliche Zusammenfassungen der Auftritte, zentrale Themen, Symbolische Bedeutung, Merkmale der Komödie

1214,327253
DeutschDeutsch

Heimsuchung_JennyErpenbeck_Abitur

Zusammenfassungen für jedes Kapitel, Analysen und Zitate

1314,076277
MatheMathe

ZP10 Mathe Zusammenfassung NRW

Lernzettel für die ZP10 Mathe in NRW mit allen Themen außer Sinusfunktionen.

1061,9114,842
DeutschDeutsch

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

1199,8351,255
EnglischEnglisch

Englisch LK Abitur 2025

Komplette Englisch LK Abi Zusammenfassung 2025

1315,040394
DeutschDeutsch

Schreibkompetenzen Deutsch LK

Diese umfassende Zusammenstellung bereitet auf das Abitur 2024 vor und deckt alle relevanten Schreibkompetenzen ab: von der Analyse pragmatischer Texte über die Erörterung literarischer Werke bis hin zur Interpretation von Epik, Lyrik und Dramatik. Zudem werden Techniken des materialgestützten Schreibens, der Redeanalyse sowie journalistische Textsorten und rhetorische Mittel behandelt. Ideal für eine gezielte und effektive Prüfungsvorbereitung.

138,207165
DeutschDeutsch

Jenny Erpenbeck "Heimsuchung"

Übersicht und Struktur des Romans

117,998168

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user

Mathematik

Mathematische Additionsoperationen

Vektoraddition

MatheMathe2,151 views·Updated Jun 16, 2026·7 pages

Einführung in Vektoren für die 11. Klasse 🧮

user profile picture
anna@anna_5818

Vektoren sind überall um uns herum - von der Geschwindigkeit deines Autos bis zur Kraft beim Fußballschuss. In der Mathematik stellst du sie als Pfeile dar, die eine bestimmte Richtung und Länge haben. Hier lernst du alles, was du für...

1
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Sign up to see the content. It's free!

  • Access to all documents
  • Improve your grades
  • Join milions of students

Was sind Vektoren?

Stell dir vor, du gibst jemandem eine Wegbeschreibung: "Geh 3 Schritte nach rechts und 4 nach oben." Genau das ist ein Vektor - ein Pfeil mit einer bestimmten Richtung und Länge!

Ein Vektor wie a⃗=(3 4)\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} zeigt dir nicht nur wohin du gehst, sondern auch wie weit. Die Länge (oder Betrag) berechnest du mit dem Satz des Pythagoras: ∣a⃗∣=32+42=5|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.

Bei dreidimensionalen Vektoren funktioniert das genauso: b⃗=(2 −2 1)\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} hat die Länge ∣b⃗∣=22+(−2)2+12=3|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3. Vergiss nicht: Negative Zahlen werden beim Quadrieren positiv!

Merktipp: Die Länge eines Vektors ist immer positiv - wie bei einem echten Lineal!

2
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Sign up to see the content. It's free!

  • Access to all documents
  • Improve your grades
  • Join milions of students

Gegenvektor

Der Gegenvektor ist wie dein Schatten - er zeigt in die komplett entgegengesetzte Richtung, hat aber dieselbe Länge. Wenn a⃗=(3 2)\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \ 2 \end{pmatrix} ist, dann ist −a⃗=(−3 −2)-\vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \ -2 \end{pmatrix}.

Bildlich gesprochen: Wenn der ursprüngliche Vektor nach rechts oben zeigt, dann zeigt sein Gegenvektor nach links unten. Die Länge bleibt dabei völlig unverändert - nur die Richtung kehrt sich um.

Das ist super praktisch für Subtraktionen, denn a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}). Du verwandelst einfach jede Subtraktion in eine Addition mit dem Gegenvektor!

Praxistipp: Bei Gegenventoren einfach alle Vorzeichen umdrehen - fertig!

3
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Sign up to see the content. It's free!

  • Access to all documents
  • Improve your grades
  • Join milions of students

Vektoren addieren

Vektoraddition ist wie Lego bauen - du hängst einfach die Pfeile aneinander! Rechnerisch addierst du die entsprechenden Koordinaten: (2 4)+(4 1)=(6 5)\begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \ 5 \end{pmatrix}.

Grafisch stellst du dir vor, dass du erst den Vektor a⃗\vec{a} gehst, dann von dessen Spitze aus den Vektor b⃗\vec{b}. Der direkte Weg vom Start zum Endpunkt ist dein Summenvektor.

Diese Methode nennt man auch Parallelogramm-Regel oder Dreiecks-Regel. Egal wie viele Vektoren du addierst - hänge sie einfach Pfeilspitze an Pfeilende aneinander.

Visualisierung: Denk an einen Stadtplan - erst 2 Blöcke nach rechts, dann 4 nach oben. Der direkte Weg ist deine Vektorsumme!

4
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Sign up to see the content. It's free!

  • Access to all documents
  • Improve your grades
  • Join milions of students

Vektoren subtrahieren

Bei der Vektorsubtraktion rechnest du einfach: (2 1)−(4 1)=(−2 0)\begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ 0 \end{pmatrix}. Du ziehst die entsprechenden Koordinaten voneinander ab.

Der Trick: Subtraktion ist eigentlich Addition mit dem Gegenvektor! Also a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}). Du drehst b⃗\vec{b} um und addierst dann ganz normal.

Grafisch hängst du den umgedrehten Vektor −b⃗-\vec{b} an die Spitze von a⃗\vec{a}. Das Ergebnis zeigt vom Ursprung zur neuen Pfeilspitze.

Eselsbrücke: Subtraktion = Addition des Gegenvektors. Einfach Vorzeichen umdrehen und addieren!

5
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Sign up to see the content. It's free!

  • Access to all documents
  • Improve your grades
  • Join milions of students

Verbindungsvektor

Der Verbindungsvektor ab⃗\vec{ab} zeigt dir den direkten Weg von der Spitze des Vektors a⃗\vec{a} zur Spitze des Vektors b⃗\vec{b}. Die Formel ist: ab⃗=b⃗−a⃗\vec{ab} = \vec{b} - \vec{a}.

Merke dir die Reihenfolge: Zielvektor minus Startvektor. Willst du von a⃗\vec{a} nach b⃗\vec{b}, dann rechnest du b⃗−a⃗=(4 1)−(1 2)=(3 −1)\vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix}.

Das funktioniert wie bei Koordinaten auf einer Karte - um von Punkt A zu Punkt B zu kommen, ziehst du die Koordinaten von A von denen von B ab.

Merkregel: "Wohin minus Woher" - Zielvektor minus Startvektor!

6
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Sign up to see the content. It's free!

  • Access to all documents
  • Improve your grades
  • Join milions of students

Vielfaches eines Vektors

Einen Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren ist wie das Verstellen eines Fernglas-Zooms. $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix}$ - der Vektor wird doppelt so lang!

Die Richtung bleibt gleich, nur die Länge ändert sich. Mit $0,5 \cdot \vec{a}verku¨rztduihnaufdieHa¨lfte,mit verkürzt du ihn auf die Hälfte, mit 3 \cdot \vec{a}$ machst du ihn dreimal so lang.

Negative Faktoren drehen zusätzlich die Richtung um: −2⋅a⃗-2 \cdot \vec{a} ist doppelt so lang wie der ursprüngliche Vektor, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung.

Anschaulich: Stell dir vor, du gehst denselben Weg, aber in doppeltem oder halbem Tempo!

7
of 7
# Was sind Vektoren ? * ein Vektor ist im Grunde ein Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt und eine gewisse Länge hat. * ein Pfei

Sign up to see the content. It's free!

  • Access to all documents
  • Improve your grades
  • Join milions of students

Lineare Abhängigkeit

Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in dieselbe (oder entgegengesetzte) Richtung zeigen - also wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Das prüfst du mit der Frage: Gibt es ein rr, sodass a⃗=r⋅b⃗\vec{a} = r \cdot \vec{b}?

Bei a⃗=(2 4 10)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ 10 \end{pmatrix} und b⃗=(1 2 5)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 5 \end{pmatrix} rechnest du: $2 = r \cdot 1 \Rightarrow r = 2,, 4 = r \cdot 2 \Rightarrow r = 2,, 10 = r \cdot 5 \Rightarrow r = 2$.

Da überall r=2r = 2 rauskommt, sind die Vektoren linear abhängig. Wäre das rr unterschiedlich, wären sie linear unabhängig und würden in verschiedene Richtungen zeigen.

Klausur-Tipp: Löse jede Zeile nach rr auf. Kommt überall dasselbe raus? → Linear abhängig!

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Similar Content

More

Most popular content: Vektoraddition

9
MatheMathe

Vektoren im Raum

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektoren, einschließlich Ortsvektoren, Vektoraddition und -subtraktion in 2D und 3D. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Vektoroperationen und deren Eigenschaften, ideal für Studierende der Multivariablen Analysis. Lernen Sie, wie man Vektoren im Koordinatensystem effektiv verwendet.

1299810
MatheMathe

Kollineare und Komplanare Vektoren

Erfahre alles über kollineare und komplanare Vektoren, ihre Eigenschaften und wie man mit ihnen rechnet. Diese Zusammenfassung behandelt Vektoren, Linearkombinationen, Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

1220,449560
MatheMathe

Vektoren und Geometrie

Diese Klausur behandelt die Grundlagen der Vektorgeometrie, einschließlich der Berechnung von Abständen, der Orthogonalität von Vektoren und der Eigenschaften von Quadern und Würfeln. Ideal für Schüler der Q1 GK, die sich auf Prüfungen vorbereiten. Enthält sowohl einen taschenrechnerfreien Teil als auch einen Teil mit Taschenrechner. Punkte: 15.

114,833109
MatheMathe

Vektoren: Berechnung & Eigenschaften

Erfahren Sie alles über Vektoren: Berechnung des Abstands zwischen Punkten, Bestimmung von Vektoren im 3D-Koordinatensystem, sowie Addition und Multiplikation von Vektoren mit anschaulichen Beispielen. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

117445
MatheMathe

Vektoren: Grundlagen und Operationen

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektoren im Koordinatensystem. Lernen Sie, wie man Vektoren addiert, subtrahiert und multipliziert, sowie die Berechnung von Koordinaten, Längen und Mittelpunkten. Diese Zusammenfassung behandelt auch Kolinearität und Linearkombinationen. Ideal für Schüler der Stufen 11-12.

113034
MatheMathe

Vektorrechnung im Raum

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung im Raum. Diese Zusammenfassung behandelt die Addition und Subtraktion von Vektoren, Skalarmultiplikation, die Parameterform von Geraden, sowie die gegenseitige Lage von Geraden. Erfahren Sie, wie man den Abstand zwischen Punkten im dreidimensionalen Koordinatensystem berechnet und geradlinige Bewegungen modelliert. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

111,26530
MatheMathe

Vektoren: Grundlagen und Berechnungen

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung mit diesem umfassenden Überblick. Erfahren Sie mehr über die Multiplikation von Vektoren, den Betrag, die Addition und Subtraktion, sowie die Eigenschaften kollinearer Vektoren. Ideal für Schüler im Grundkurs Mathematik. Enthält wichtige Gesetze wie das Kommutativ- und Assoziativgesetz.

137075
MatheMathe

Vektoren: Abitur Essentials

Entdecke die wichtigsten Konzepte zu Vektoren für dein Abitur: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Skalarprodukt, Kolinearität, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen sowie die Bestimmung von Längen und Mittelpunkten. Ideal für eine gezielte Prüfungsvorbereitung.

1113,865617
MatheMathe

Lagebeziehungen von Vektoren

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung, einschließlich der Lagebeziehungen zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen. Erfahren Sie mehr über kollineare Vektoren, Vektoraddition, Skalarprodukt und die Bestimmung von Winkeln zwischen Vektoren. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Konzepte und Formeln der Vektorrechnung.

114,435251

Most popular content in Mathe

9
MatheMathe

ZP10 Mathe Zusammenfassung NRW

Lernzettel für die ZP10 Mathe in NRW mit allen Themen außer Sinusfunktionen.

1061,9114,842
MatheMathe

Mathe ZP10 Zusammenfassung NRW

Zusammenfassung der Mathethemwn für die ZP10 NRW + Formelsammlung

1010,174518
MatheMathe

Mathematik Themenübersicht ZP 2024

Umfassende Zusammenfassung aller relevanten Mathematikthemen für die zentrale Prüfung 2024. Behandelt werden unter anderem Exponentialgleichungen, Prozentrechnung, Zinsrechnung, geometrische Berechnungen und statistische Grundlagen. Ideal für Schüler zur gezielten Vorbereitung auf die Abschlussprüfung.

1027,7411,142
MatheMathe

Prüfungsvorbereitung MSA Klasse 10

Zusammenfassung Mathe für den MSA Klasse 10

106,570156
MatheMathe

Mathematik ZP10 Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für die Mathematikprüfung ZP10 am Gymnasium. Behandelt zentrale Themen wie Stochastik, quadratische und exponentielle Funktionen, Geometrie, und Zinsrechnung. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen und zur Vertiefung mathematischer Konzepte.

1127,1042,466
MatheMathe

Alles was du für die ZP10 können musst! (VOLLSTÄNDIG) für Gymnasium und Realschule

Die Mathe ZP ist machbar. Durch die große Anzahl an Themen die dran kommen könnten, verliert man schnell den Überblick. Also habe ich von den kleinsten Themen bis hin zu den größten alles zusammengefasst <3.

104,988118
MatheMathe

Lernzettel ZP 10 Mathe

Lernzettel von der ZP 10

105,328116
MatheMathe

Mathematik Abitur Themenübersicht

Umfassende Übersicht aller Themen für das Mathe-Abitur: von Analysis über Kurvendiskussion bis hin zu Integralrechnung und Stochastik. Ideal für die Prüfungsvorbereitung mit detaillierten Inhalten zu analytischer Geometrie, e-Funktionen, Extremwertaufgaben und mehr.

117,874228
MatheMathe

Mathe Abi26 Zusammenfassung NRW

Dient zur Vorbereitung auf das Abitur 2026 im Grundkurs Mathematik.

116,321196

Most popular content

9
DeutschDeutsch

Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

1148,034728
DeutschDeutsch

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

1254,769921
DeutschDeutsch

Der zerbrochne Krug

Ausführliche Lernzettel zu: Basisdaten, Handlung, ausführliche Zusammenfassungen der Auftritte, zentrale Themen, Symbolische Bedeutung, Merkmale der Komödie

1214,327253
DeutschDeutsch

Heimsuchung_JennyErpenbeck_Abitur

Zusammenfassungen für jedes Kapitel, Analysen und Zitate

1314,076277
MatheMathe

ZP10 Mathe Zusammenfassung NRW

Lernzettel für die ZP10 Mathe in NRW mit allen Themen außer Sinusfunktionen.

1061,9114,842
DeutschDeutsch

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

1199,8351,255
EnglischEnglisch

Englisch LK Abitur 2025

Komplette Englisch LK Abi Zusammenfassung 2025

1315,040394
DeutschDeutsch

Schreibkompetenzen Deutsch LK

Diese umfassende Zusammenstellung bereitet auf das Abitur 2024 vor und deckt alle relevanten Schreibkompetenzen ab: von der Analyse pragmatischer Texte über die Erörterung literarischer Werke bis hin zur Interpretation von Epik, Lyrik und Dramatik. Zudem werden Techniken des materialgestützten Schreibens, der Redeanalyse sowie journalistische Textsorten und rhetorische Mittel behandelt. Ideal für eine gezielte und effektive Prüfungsvorbereitung.

138,207165
DeutschDeutsch

Jenny Erpenbeck "Heimsuchung"

Übersicht und Struktur des Romans

117,998168

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user