Mathematik

Graphen- und Figurentransformationen

Transformationen

Mathe2,398 views·Updated Jun 19, 2026·8 pages

Grundlagen: Exponentialfunktionen und Transformationen

Jill@jillivanilli

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Diese Mathe-Klausur aus der EF behandelt die wichtigsten Themen des...

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Jill

Mathe GK EF/1. Hj.

2. Klausur
Teil 1 (hilfsmittelfreier Teil)

21.12.2020

218

313

313

18/9/
Aufgabe 1

a) Geben Sie die Funktions

Hilfsmittelfreier Teil - Grundlagen ohne Taschenrechner

Der erste Teil testet dein Grundwissen ohne technische Hilfsmittel. Bei quadratischen Funktionen musst du zwischen verschiedenen Formen umwandeln können - von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form und umgekehrt.

Die Nullstellenberechnung läuft über die bekannten Verfahren wie die pq-Formel. Hier wurde t(x) = -3x² - 6x + 9 durch 3 geteilt, um die Rechnung zu vereinfachen.

Beim exponentiellen Wachstum gilt die Faustregel: Wachstum bedeutet Wachstumsfaktor > 1, Abnahme bedeutet < 1. Bei 6% Wachstum rechnest du 1 + 0,06 = 1,06.

Tipp: Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit dem Glücksrad systematisch vorgehen - erst alle günstigen Zahlen auflisten, dann zählen!

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GTR-Teil - Lineare Funktionen und Schwimmbecken

Hier geht's um lineare Funktionen in Sachzusammenhängen. Das Schwimmbecken wird gleichmäßig gefüllt - das ist der Schlüssel für lineares Wachstum.

Aus zwei gegebenen Punkten $3,5h/0,86m$ und $4h/0,94m$ berechnest du die Steigung: (0,94-0,86)/(4-3,5) = 0,16 m/h. Der y-Achsenabschnitt 0,3 zeigt die Anfangshöhe des Wassers.

Bei Funktionsverschiebungen merkst du dir: $x-a$ bedeutet a nach rechts, +b bedeutet b nach oben. Minuszeichen vor der Funktion spiegelt an der x-Achse.

Wichtig: Lineares Wachstum erkennst du daran, dass pro Zeiteinheit immer die gleiche Menge dazukommt - hier 0,16 m pro Stunde!

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Funktionsverschiebungen verstehen

Funktionsverschiebungen folgen festen Regeln, die du dir gut merken solltest. Eine Grundfunktion f(x) = x² wird durch verschiedene Parameter verändert.

Beispiel: g(x) = - $x-5$ ² + 5 entsteht durch Spiegelung an der x-Achse (Minuszeichen), Verschiebung um 5 nach rechts $x-5$ und um 5 nach oben (+5).

Streckungen und Stauchungen erkennst du am Faktor vor der Funktion. Faktor 2 bedeutet Streckung, Faktor 0,5 bedeutet Stauchung.

Merkhilfe: Transformationen immer in dieser Reihenfolge anwenden: Streckung/Stauchung, dann Spiegelung, dann Verschiebung!

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Exponentielles vs. lineares Wachstum

Hier lernst du, Wachstumsarten zu unterscheiden. Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn sich ein Wert um einen festen Prozentsatz ändert - wie bei der Bakterienkolonie, die sich stündlich um 1,1% vermehrt.

Lineares Wachstum siehst du beim Rasen: täglich 1 mm mehr ist eine konstante Zunahme. Die Formel lautet h(t) = 0,1t + 3.

Bei der Bakterienverdopplung startest du mit 4 Bakterien. Nach t Stunden: f(t) = 4 × 2^t. Nach 24 Stunden sind das über 67 Millionen Bakterien!

Faustregel: Prozentuale Änderung = exponentiell, feste Menge pro Zeit = linear!

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Musterlösungen Teil 1

Die Lösungswege zeigen dir, wie sauber gerechnet werden sollte. Bei der Umwandlung zur allgemeinen Form multiplizierst du die binomische Formel aus und fasst zusammen.

Für die Scheitelpunktform verwendest du die quadratische Ergänzung: x² - 6x + 3 = $x-3$ ² - 9 + 3 = $x-3$ ² - 6.

Bei den Wachstumsfaktoren rechnest du: 6% Wachstum → b = 1,06, 4% Abnahme → b = 0,96.

Kontrolliere immer: Setze deine Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein, um Rechenfehler zu vermeiden!

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Musterlösungen Teil 2 - GTR-Aufgaben

Der Nachweis der linearen Funktion erfolgt durch Einsetzen: f(3,5) = 0,16 × 3,5 + 0,3 = 0,86 ✓. Das bestätigt die gegebene Funktion.

Die Anfangshöhe liest du direkt ab: Der y-Achsenabschnitt 0,3 bedeutet 30 cm Wasserstand zu Beginn.

Beim Entleeren kehrt sich die Funktion um: g(t) = -0,16t + 1,9. Das Becken ist leer, wenn g(t) = 0, also nach 11,875 Stunden.

GTR-Tipp: Nutze die Solve-Funktion deines Taschenrechners, um Gleichungen schnell zu lösen!

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Funktionsgraphen transformieren

Verschiebungen erkennst du an den Parametern: g(x) = $x-4$ ³ - 2 bedeutet 4 nach rechts und 2 nach unten. Das Vorzeichen entscheidet über die Richtung.

Bei zusammengesetzten Transformationen wie g(x) = 2 $x+1$ ³ + $x+1$ ² + 4 wird erst um 1 nach links verschoben, dann um 4 nach oben.

Die Streckungsfaktoren stehen direkt vor der Funktion. Ein Faktor 2 streckt den Graphen, 0,5 staucht ihn.

Systematisch vorgehen: Analysiere jeden Parameter einzeln - das verhindert Verwirrung bei komplexeren Transformationen!

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Wachstumsmodelle in der Praxis

Exponentielles Wachstum siehst du bei Prozessen wie Bakterienvermehrung oder Medikamentenabbau. Die Formel f(t) = 4 × 2^t beschreibt eine Verdopplung pro Zeiteinheit.

Das Vitaminpräparat nimmt um 15% ab, daher f(x) = 150 × 0,85^x. Der Wachstumsfaktor 0,85 zeigt die Abnahme.

Bei der Bakterienberechnung nach einem Tag $t = 24$ erhältst du f(24) = 4 × 2^24 = 67.108.864 Bakterien - eine unvorstellbare Zahl!

Realitätscheck: Exponentielles Wachstum führt schnell zu riesigen Zahlen - deshalb gibt es in der Natur meist begrenzende Faktoren!

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Jill@jillivanilli

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Beim exponentiellen Wachstum gilt die Faustregel: Wachstum bedeutet Wachstumsfaktor > 1, Abnahme bedeutet < 1. Bei 6% Wachstum rechnest du 1 + 0,06 = 1,06.

Tipp: Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit dem Glücksrad systematisch vorgehen - erst alle günstigen Zahlen auflisten, dann zählen!

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Aus zwei gegebenen Punkten $3,5h/0,86m$ und $4h/0,94m$ berechnest du die Steigung: (0,94-0,86)/(4-3,5) = 0,16 m/h. Der y-Achsenabschnitt 0,3 zeigt die Anfangshöhe des Wassers.

Bei Funktionsverschiebungen merkst du dir: $x-a$ bedeutet a nach rechts, +b bedeutet b nach oben. Minuszeichen vor der Funktion spiegelt an der x-Achse.

Wichtig: Lineares Wachstum erkennst du daran, dass pro Zeiteinheit immer die gleiche Menge dazukommt - hier 0,16 m pro Stunde!

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Funktionsverschiebungen verstehen

Funktionsverschiebungen folgen festen Regeln, die du dir gut merken solltest. Eine Grundfunktion f(x) = x² wird durch verschiedene Parameter verändert.

Beispiel: g(x) = - $x-5$ ² + 5 entsteht durch Spiegelung an der x-Achse (Minuszeichen), Verschiebung um 5 nach rechts $x-5$ und um 5 nach oben (+5).

Streckungen und Stauchungen erkennst du am Faktor vor der Funktion. Faktor 2 bedeutet Streckung, Faktor 0,5 bedeutet Stauchung.

Merkhilfe: Transformationen immer in dieser Reihenfolge anwenden: Streckung/Stauchung, dann Spiegelung, dann Verschiebung!

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Lineares Wachstum siehst du beim Rasen: täglich 1 mm mehr ist eine konstante Zunahme. Die Formel lautet h(t) = 0,1t + 3.

Bei der Bakterienverdopplung startest du mit 4 Bakterien. Nach t Stunden: f(t) = 4 × 2^t. Nach 24 Stunden sind das über 67 Millionen Bakterien!

Faustregel: Prozentuale Änderung = exponentiell, feste Menge pro Zeit = linear!

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Die Lösungswege zeigen dir, wie sauber gerechnet werden sollte. Bei der Umwandlung zur allgemeinen Form multiplizierst du die binomische Formel aus und fasst zusammen.

Für die Scheitelpunktform verwendest du die quadratische Ergänzung: x² - 6x + 3 = $x-3$ ² - 9 + 3 = $x-3$ ² - 6.

Bei den Wachstumsfaktoren rechnest du: 6% Wachstum → b = 1,06, 4% Abnahme → b = 0,96.

Kontrolliere immer: Setze deine Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein, um Rechenfehler zu vermeiden!

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Musterlösungen Teil 2 - GTR-Aufgaben

Der Nachweis der linearen Funktion erfolgt durch Einsetzen: f(3,5) = 0,16 × 3,5 + 0,3 = 0,86 ✓. Das bestätigt die gegebene Funktion.

Die Anfangshöhe liest du direkt ab: Der y-Achsenabschnitt 0,3 bedeutet 30 cm Wasserstand zu Beginn.

Beim Entleeren kehrt sich die Funktion um: g(t) = -0,16t + 1,9. Das Becken ist leer, wenn g(t) = 0, also nach 11,875 Stunden.

GTR-Tipp: Nutze die Solve-Funktion deines Taschenrechners, um Gleichungen schnell zu lösen!

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Funktionsgraphen transformieren

Verschiebungen erkennst du an den Parametern: g(x) = $x-4$ ³ - 2 bedeutet 4 nach rechts und 2 nach unten. Das Vorzeichen entscheidet über die Richtung.

Bei zusammengesetzten Transformationen wie g(x) = 2 $x+1$ ³ + $x+1$ ² + 4 wird erst um 1 nach links verschoben, dann um 4 nach oben.

Die Streckungsfaktoren stehen direkt vor der Funktion. Ein Faktor 2 streckt den Graphen, 0,5 staucht ihn.

Systematisch vorgehen: Analysiere jeden Parameter einzeln - das verhindert Verwirrung bei komplexeren Transformationen!

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Wachstumsmodelle in der Praxis

Exponentielles Wachstum siehst du bei Prozessen wie Bakterienvermehrung oder Medikamentenabbau. Die Formel f(t) = 4 × 2^t beschreibt eine Verdopplung pro Zeiteinheit.

Das Vitaminpräparat nimmt um 15% ab, daher f(x) = 150 × 0,85^x. Der Wachstumsfaktor 0,85 zeigt die Abnahme.

Bei der Bakterienberechnung nach einem Tag $t = 24$ erhältst du f(24) = 4 × 2^24 = 67.108.864 Bakterien - eine unvorstellbare Zahl!

Realitätscheck: Exponentielles Wachstum führt schnell zu riesigen Zahlen - deshalb gibt es in der Natur meist begrenzende Faktoren!