Extremwertaufgaben helfen dir dabei, das Beste aus einer Situation herauszuholen...
Mathe403 views·Updated Jun 23, 2026·3 pagesEinführung in Extremwertaufgaben
Neiynao@neiynao
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Was sind Extremwertaufgaben?
Stell dir vor, du willst mit möglichst wenig Material eine Dose bauen oder den größten Gewinn aus einem Geschäft herausholen. Genau das sind Extremwertaufgaben - du suchst das Maximum oder Minimum unter bestimmten Bedingungen.
Das Coole daran: Es gibt ein festes Schema mit 7 Schritten, das immer funktioniert. Zuerst stellst du die Hauptbedingung auf (was willst du optimieren?), dann die Nebenbedingung (welche Einschränkungen gibt es?).
Der Trick ist, die Nebenbedingung umzuformen und in die Hauptbedingung einzusetzen. So bekommst du eine Zielfunktion mit nur noch einer Variable - und die kannst du dann mit der Ableitung lösen.
Merktipp: Bei Maximierung suchst du einen Hochpunkt (f''(x) < 0), bei Minimierung einen Tiefpunkt (f''(x) > 0).
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Praktisches Beispiel: Die optimale Dose
Eine Dose soll 330ml fassen, aber möglichst wenig Material verbrauchen. Das ist ein typisches Optimierungsproblem aus dem echten Leben!
Die Hauptbedingung ist hier die Oberfläche der Dose: A(r,h) = 2πr·h + 2πr². Die Nebenbedingung kommt vom vorgegebenen Volumen: V = πr²·h = 330ml.
Jetzt formst du die Nebenbedingung nach h um: h = 330/(πr²). Das setzt du in die Hauptbedingung ein und erhältst die Zielfunktion: A(r) = 660/r + 2πr².
Praxis-Tipp: Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob deine Lösung Sinn macht - negative Werte für Radius oder Höhe sind unrealistisch!
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Die Lösung finden
Um das Minimum zu finden, bildest du die Ableitung: A'(r) = -660/r² + 4πr = 0. Löst du das auf, bekommst du r ≈ 3,745 cm.
Mit der zweiten Ableitung A''(r) = 1320/r³ + 4π prüfst du: A''(3,745) ≈ 37,7 > 0. Das bestätigt den Tiefpunkt - du hast wirklich das Minimum gefunden!
Setzt du r = 3,745 in die umgeformte Nebenbedingung ein, erhältst du h ≈ 7,49 cm. Die optimale Dose hat also einen Radius von 3,745 cm und eine Höhe von 7,49 cm.
Erfolg garantiert: Wenn du die 7 Schritte systematisch abarbeitest, findest du immer die richtige Lösung - auch in der Prüfung!
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Extremwertaufgaben helfen dir dabei, das Beste aus einer Situation herauszuholen - zum Beispiel den geringsten Materialverbrauch oder den größten Gewinn zu finden. Diese Art von Aufgaben begegnet dir oft in Prüfungen und ist eigentlich ganz logisch aufgebaut.
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Der Trick ist, die Nebenbedingung umzuformen und in die Hauptbedingung einzusetzen. So bekommst du eine Zielfunktion mit nur noch einer Variable - und die kannst du dann mit der Ableitung lösen.
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Praktisches Beispiel: Die optimale Dose
Eine Dose soll 330ml fassen, aber möglichst wenig Material verbrauchen. Das ist ein typisches Optimierungsproblem aus dem echten Leben!
Die Hauptbedingung ist hier die Oberfläche der Dose: A(r,h) = 2πr·h + 2πr². Die Nebenbedingung kommt vom vorgegebenen Volumen: V = πr²·h = 330ml.
Jetzt formst du die Nebenbedingung nach h um: h = 330/(πr²). Das setzt du in die Hauptbedingung ein und erhältst die Zielfunktion: A(r) = 660/r + 2πr².
Praxis-Tipp: Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob deine Lösung Sinn macht - negative Werte für Radius oder Höhe sind unrealistisch!
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Die Lösung finden
Um das Minimum zu finden, bildest du die Ableitung: A'(r) = -660/r² + 4πr = 0. Löst du das auf, bekommst du r ≈ 3,745 cm.
Mit der zweiten Ableitung A''(r) = 1320/r³ + 4π prüfst du: A''(3,745) ≈ 37,7 > 0. Das bestätigt den Tiefpunkt - du hast wirklich das Minimum gefunden!
Setzt du r = 3,745 in die umgeformte Nebenbedingung ein, erhältst du h ≈ 7,49 cm. Die optimale Dose hat also einen Radius von 3,745 cm und eine Höhe von 7,49 cm.
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