Mathematik

Logarithmische und Exponentialfunktionen

Logarithmen

Mathe1,608 views·Updated Jun 26, 2026·7 pages

Exponentielles Wachstum und Logarithmus: Einfache Erklärungen

kathrin @kathrinlni

Add to Google sources

Exponentialfunktionen begegnen dir überall im Leben – von der Inflation...

1 / 7

of 7

# exponentielles Wachstum und 26.09.2022

# Logarithmus

## 1. Lineares und exponentielles Wachstum

→Arbeitsblat Geld sparen jeden Tag +0.0

Lineares vs. exponentielles Wachstum

Stell dir vor, du sparst jeden Tag einen Cent mehr – das ist lineares Wachstum. Bei der Inflation steigen die Preise aber jedes Jahr um einen bestimmten Prozentsatz – das ist exponentielles Wachstum.

Der Unterschied ist einfach: Bei linearem Wachstum addierst du immer die gleiche Zahl (d). Die Formel lautet y = b + d·x. Bei exponentiellem Wachstum multiplizierst du immer mit dem gleichen Wachstumsfaktor a. Die Formel ist y = b·aˣ.

Du erkennst die beiden Wachstumsarten so: Linear bedeutet B $n+1$ - B(n) = konstant, exponentiell bedeutet B $n+1$ /B(n) = konstant.

Merktipp: Lineares Wachstum = Addition, exponentielles Wachstum = Multiplikation!

of 7

Exponentialfunktionen verstehen

Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = b·aˣ, wobei a der Wachstumsfaktor ist. Das b ist dein Startwert bei x = 0.

Praktische Beispiele findest du überall: Bei 10% Zinsen und 2€ Startkapital ist die Funktion f(x) = 2·1,10ˣ. Ein Auto mit 20% jährlichem Wertverlust und 20.000€ Anfangswert wird durch f(x) = 2·0,8ˣ beschrieben (in 10.000€).

Der Trick bei Prozenten: 10% Zuwachs bedeutet 110%, also a = 1,10. 20% Verlust bedeutet 80% bleiben übrig, also a = 0,8.

Praxistipp: Prozent + 100 = Wachstumsfaktor bei Zuwachs, Prozent von 100 abziehen = Wachstumsfaktor bei Verlust!

of 7

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen f(x) = b·aˣ haben besondere Eigenschaften, die du für Klausuren kennen musst. Der Definitionsbereich ist alle reellen Zahlen, der Wertebereich nur positive Zahlen – deshalb gibt es keine Nullstellen.

Ist a > 1, steigt die Funktion streng monoton. Ist a < 1, fällt sie streng monoton. Die x-Achse ist immer eine Asymptote – die Funktion nähert sich ihr an, berührt sie aber nie.

Exponentialfunktionen werden schnell extrem steil – steiler als jede Parabel! Der Anfangspunkt liegt immer bei (0|b).

Klausur-Tipp: Exponentialfunktionen haben nie Nullstellen – das ist ein häufiger Prüfungsinhalt!

of 7

Exponentialgleichungen mit Logarithmus lösen

Wenn das x im Exponenten steht, brauchst du den Logarithmus. Das ist einfach die Umkehrung der Potenz: Statt 2⁸ = 256 schreibst du 8 = log₂ 256.

Die allgemeine Regel: Aus aʳ = u wird r = log_a u. Der Logarithmus ist die Zahl, mit der du a potenzieren musst, um u zu bekommen.

Ein krasses Beispiel: Um einen Papierstapel bis zum Mond zu falten (384.000 km), musst du 0,1·2ˣ = 384·10⁹ lösen. Das ergibt x ≈ 41,8 – du müsstest das Papier über 40 Mal falten!

Aha-Moment: Der Logarithmus fragt: "Mit welcher Zahl muss ich potenzieren?" – das ist die Umkehrung!

of 7

Logarithmus-Rechenregeln

Es gibt vier wichtige Rechenregeln für Logarithmen, die dir das Leben erleichtern. log_a 1 = 0 $weil a⁰ = 1$ und log_a a = 1 $weil a¹ = a$ sind die Grundlagen.

Die dritte Regel ist log_a aʳ = r – der Logarithmus hebt die Potenz einfach auf. Die vierte Regel ist log_a (uʳ) = r·log_a (u) – Potenzen werden zu Faktoren.

Diese Regeln kannst du beweisen, indem du zur Exponentialgleichung zurückgehst und beide Seiten umformst.

Lern-Hack: Die Regeln sind logisch – der Logarithmus macht immer das Gegenteil von dem, was die Potenz tut!

of 7

Komplexe Exponentialgleichungen meistern

Einfache Exponentialgleichungen wie 3ˣ = 100 löst du direkt: x = log₃ 100. Bei komplizierten Gleichungen musst du erst umformen, dann logarithmieren.

Beispiel: Schnittpunkt von y = 9·2ˣ und y = 8·3ˣ. Du setzt gleich: 9·2ˣ = 8·3ˣ, teilst durch 3ˣ und 9, und erhältst (2/3)ˣ = 8/27.

Du hast zwei Lösungswege: Entweder mit der passenden Basis logarithmieren oder mit log₁₀ $dem Taschenrechner-Log$ . Beide führen zu x = 3.

Strategie-Tipp: Erst die Potenz isolieren, dann logarithmieren – so knackst du jede Exponentialgleichung!

of 7

Modellierung mit Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen beschreiben reale Phänomene erstaunlich genau. Benjamin Franklin sagte 1751 voraus, dass sich Amerikas Bevölkerung alle 100 Jahre verdreifacht – und lag fast richtig!

Aus den gegebenen Daten (11 Mio. 1751, Verdreifachung in 100 Jahren) berechnest du: y = 11 Mio.·1,0346ˣ. Das bedeutet 3,46% jährliches Wachstum.

Seine Prognose für 2022: etwa 11 Milliarden Menschen. Tatsächlich sind es 330 Millionen – seine Schätzung war zu optimistisch, aber die mathematische Methode funktioniert perfekt.

Real-World-Check: Exponentialfunktionen helfen dir, Zukunftsprognosen zu verstehen und zu hinterfragen!

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Most popular content: Logarithmen

Mathe

Logarithmen verstehen

Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Logarithmen, einschließlich ihrer Beziehung zu Exponentialfunktionen und den wichtigsten Eigenschaften. Anhand von Beispielaufgaben wird gezeigt, wie man den Exponenten berechnet und Logarithmen anwendet. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

112143

Mathe

Gleichungen effektiv lösen

Entdecken Sie Methoden zur Lösung verschiedener Gleichungstypen, einschließlich linearer, quadratischer, biquadratischer, Exponential-, Logarithmus-, Sinus-, Cosinus-, Tangens-, Wurzel- und Bruchgleichungen. Diese Zusammenfassung bietet klare Schritte und Beispiele zur Anwendung der pq-Formel, des Satzes vom Nullprodukt und mehr. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Fähigkeiten im Lösen von Gleichungen verbessern möchten.

112,65484

Most popular content in Mathe

Mathe

ZP10 Mathe Zusammenfassung NRW

Lernzettel für die ZP10 Mathe in NRW mit allen Themen außer Sinusfunktionen.

1061,9114,842

Mathe

Mathe ZP10 Zusammenfassung NRW

Zusammenfassung der Mathethemwn für die ZP10 NRW + Formelsammlung

1010,174518

Mathe

Mathematik Themenübersicht ZP 2024

Umfassende Zusammenfassung aller relevanten Mathematikthemen für die zentrale Prüfung 2024. Behandelt werden unter anderem Exponentialgleichungen, Prozentrechnung, Zinsrechnung, geometrische Berechnungen und statistische Grundlagen. Ideal für Schüler zur gezielten Vorbereitung auf die Abschlussprüfung.

1027,7411,142

Mathe

Prüfungsvorbereitung MSA Klasse 10

Zusammenfassung Mathe für den MSA Klasse 10

106,570156

Mathe

Mathematik ZP10 Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für die Mathematikprüfung ZP10 am Gymnasium. Behandelt zentrale Themen wie Stochastik, quadratische und exponentielle Funktionen, Geometrie, und Zinsrechnung. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen und zur Vertiefung mathematischer Konzepte.

1127,1042,466

Mathe

Alles was du für die ZP10 können musst! (VOLLSTÄNDIG) für Gymnasium und Realschule

Die Mathe ZP ist machbar. Durch die große Anzahl an Themen die dran kommen könnten, verliert man schnell den Überblick. Also habe ich von den kleinsten Themen bis hin zu den größten alles zusammengefasst <3.

104,988118

Mathe

Lernzettel ZP 10 Mathe

Lernzettel von der ZP 10

105,328116

Mathe

Mathematik Abitur Themenübersicht

Umfassende Übersicht aller Themen für das Mathe-Abitur: von Analysis über Kurvendiskussion bis hin zu Integralrechnung und Stochastik. Ideal für die Prüfungsvorbereitung mit detaillierten Inhalten zu analytischer Geometrie, e-Funktionen, Extremwertaufgaben und mehr.

117,874228

Mathe

Mathe Abi26 Zusammenfassung NRW

Dient zur Vorbereitung auf das Abitur 2026 im Grundkurs Mathematik.

116,321196

Most popular content

Deutsch

Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

1148,034728

Deutsch

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

1254,769921

Deutsch

Der zerbrochne Krug

Ausführliche Lernzettel zu: Basisdaten, Handlung, ausführliche Zusammenfassungen der Auftritte, zentrale Themen, Symbolische Bedeutung, Merkmale der Komödie

1214,327253

Deutsch

Heimsuchung_JennyErpenbeck_Abitur

Zusammenfassungen für jedes Kapitel, Analysen und Zitate

1314,076277

Mathe

ZP10 Mathe Zusammenfassung NRW

Lernzettel für die ZP10 Mathe in NRW mit allen Themen außer Sinusfunktionen.

1061,9114,842

Deutsch

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

1199,8351,255

Englisch

Englisch LK Abitur 2025

Komplette Englisch LK Abi Zusammenfassung 2025

1315,040394

Deutsch

Schreibkompetenzen Deutsch LK

Diese umfassende Zusammenstellung bereitet auf das Abitur 2024 vor und deckt alle relevanten Schreibkompetenzen ab: von der Analyse pragmatischer Texte über die Erörterung literarischer Werke bis hin zur Interpretation von Epik, Lyrik und Dramatik. Zudem werden Techniken des materialgestützten Schreibens, der Redeanalyse sowie journalistische Textsorten und rhetorische Mittel behandelt. Ideal für eine gezielte und effektive Prüfungsvorbereitung.

138,207165

Deutsch

Jenny Erpenbeck "Heimsuchung"

Übersicht und Struktur des Romans

117,998168

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user

Mathematik

Logarithmische und Exponentialfunktionen

Logarithmen

Mathe1,608 views·Updated Jun 26, 2026·7 pages

Exponentielles Wachstum und Logarithmus: Einfache Erklärungen

kathrin @kathrinlni

Add to Google sources

Exponentialfunktionen begegnen dir überall im Leben – von der Inflation bis hin zum Wertverlust deines Handys. Hier lernst du, wie sich diese besonderen Funktionen von linearem Wachstum unterscheiden und wie du mit Logarithmus knifflige Gleichungen lösen kannst.

of 7

Lineares vs. exponentielles Wachstum

Du erkennst die beiden Wachstumsarten so: Linear bedeutet B $n+1$ - B(n) = konstant, exponentiell bedeutet B $n+1$ /B(n) = konstant.

Merktipp: Lineares Wachstum = Addition, exponentielles Wachstum = Multiplikation!

of 7

Exponentialfunktionen verstehen

Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = b·aˣ, wobei a der Wachstumsfaktor ist. Das b ist dein Startwert bei x = 0.

Der Trick bei Prozenten: 10% Zuwachs bedeutet 110%, also a = 1,10. 20% Verlust bedeutet 80% bleiben übrig, also a = 0,8.

Praxistipp: Prozent + 100 = Wachstumsfaktor bei Zuwachs, Prozent von 100 abziehen = Wachstumsfaktor bei Verlust!

of 7

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Ist a > 1, steigt die Funktion streng monoton. Ist a < 1, fällt sie streng monoton. Die x-Achse ist immer eine Asymptote – die Funktion nähert sich ihr an, berührt sie aber nie.

Exponentialfunktionen werden schnell extrem steil – steiler als jede Parabel! Der Anfangspunkt liegt immer bei (0|b).

Klausur-Tipp: Exponentialfunktionen haben nie Nullstellen – das ist ein häufiger Prüfungsinhalt!

of 7

Exponentialgleichungen mit Logarithmus lösen

Wenn das x im Exponenten steht, brauchst du den Logarithmus. Das ist einfach die Umkehrung der Potenz: Statt 2⁸ = 256 schreibst du 8 = log₂ 256.

Die allgemeine Regel: Aus aʳ = u wird r = log_a u. Der Logarithmus ist die Zahl, mit der du a potenzieren musst, um u zu bekommen.

Ein krasses Beispiel: Um einen Papierstapel bis zum Mond zu falten (384.000 km), musst du 0,1·2ˣ = 384·10⁹ lösen. Das ergibt x ≈ 41,8 – du müsstest das Papier über 40 Mal falten!

Aha-Moment: Der Logarithmus fragt: "Mit welcher Zahl muss ich potenzieren?" – das ist die Umkehrung!

of 7

Logarithmus-Rechenregeln

Es gibt vier wichtige Rechenregeln für Logarithmen, die dir das Leben erleichtern. log_a 1 = 0 $weil a⁰ = 1$ und log_a a = 1 $weil a¹ = a$ sind die Grundlagen.

Die dritte Regel ist log_a aʳ = r – der Logarithmus hebt die Potenz einfach auf. Die vierte Regel ist log_a (uʳ) = r·log_a (u) – Potenzen werden zu Faktoren.

Diese Regeln kannst du beweisen, indem du zur Exponentialgleichung zurückgehst und beide Seiten umformst.

Lern-Hack: Die Regeln sind logisch – der Logarithmus macht immer das Gegenteil von dem, was die Potenz tut!

of 7

Komplexe Exponentialgleichungen meistern

Einfache Exponentialgleichungen wie 3ˣ = 100 löst du direkt: x = log₃ 100. Bei komplizierten Gleichungen musst du erst umformen, dann logarithmieren.

Beispiel: Schnittpunkt von y = 9·2ˣ und y = 8·3ˣ. Du setzt gleich: 9·2ˣ = 8·3ˣ, teilst durch 3ˣ und 9, und erhältst (2/3)ˣ = 8/27.

Du hast zwei Lösungswege: Entweder mit der passenden Basis logarithmieren oder mit log₁₀ $dem Taschenrechner-Log$ . Beide führen zu x = 3.

Strategie-Tipp: Erst die Potenz isolieren, dann logarithmieren – so knackst du jede Exponentialgleichung!

of 7

Modellierung mit Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen beschreiben reale Phänomene erstaunlich genau. Benjamin Franklin sagte 1751 voraus, dass sich Amerikas Bevölkerung alle 100 Jahre verdreifacht – und lag fast richtig!

Aus den gegebenen Daten (11 Mio. 1751, Verdreifachung in 100 Jahren) berechnest du: y = 11 Mio.·1,0346ˣ. Das bedeutet 3,46% jährliches Wachstum.

Seine Prognose für 2022: etwa 11 Milliarden Menschen. Tatsächlich sind es 330 Millionen – seine Schätzung war zu optimistisch, aber die mathematische Methode funktioniert perfekt.

Real-World-Check: Exponentialfunktionen helfen dir, Zukunftsprognosen zu verstehen und zu hinterfragen!