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Semejanza y Proporcionalidad: Ejercicios con Áreas

dacope8@dacope8

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La semejanza entre figuras geométricas nos permite comparar polígonos que...

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13 de Marz0
2020

semejanza

das foldingalbos son semajentes si sus lados
correspondientes 514 ang ulos
con congriventes
b c Q
2cm d
a 3cm L

Semejanza entre polígonos

Dos polígonos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados están en la misma proporción. Esto lo indicamos con el símbolo "∼". Por ejemplo, si ABCD ∼ ETAL, significa que estos polígonos tienen la misma forma pero posiblemente diferente tamaño.

Existen tres criterios de semejanza para triángulos que nos facilitan identificarlos. El primer criterio es AAA $Ángulo-Ángulo-Ángulo$ : si dos triángulos tienen sus tres ángulos respectivamente iguales, entonces son semejantes. Por ejemplo, si un triángulo tiene ángulos de 40°, 60° y 80°, y otro triángulo también, son semejantes.

El segundo criterio es LAL $Lado-Ángulo-Lado$ : si dos triángulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos es igual, entonces son semejantes. Cuando decimos que los lados están en razón de 1:3, significa que cada lado de un triángulo mide un tercio del lado correspondiente del otro.

💡 ¡Dato importante! Todos los triángulos congruentes (exactamente iguales) son semejantes, pero no todos los triángulos semejantes son congruentes. Un triángulo semejante puede ser más grande o más pequeño que otro.

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Más criterios y el Teorema de Thales

El tercer criterio de semejanza es LLL $Lado-Lado-Lado$ : si dos triángulos tienen sus tres lados proporcionales, entonces son semejantes. Por ejemplo, si un triángulo tiene lados de 2.5 cm, 4 cm y 3 cm, y otro tiene lados de 5 cm, 8 cm y 6 cm (todos en razón 1:2), entonces son semejantes.

El Teorema de Thales es fundamental para entender la proporcionalidad en geometría. Establece que si dos rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos determinados en una secante son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra secante.

Este teorema nos da ecuaciones como: si DE es paralelo a AB, entonces CD/DA = CE/EB. Esto nos permite calcular longitudes desconocidas usando proporciones. Por ejemplo, si conocemos tres medidas y necesitamos una cuarta, podemos establecer una proporción y despejar la incógnita.

💡 El Teorema de Thales es como una "regla de tres" geométrica que te permite encontrar medidas desconocidas. ¡Lo usarás muchísimo en problemas de semejanza!

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Ejercicios de proporcionalidad

Para resolver problemas de semejanza, siempre debes establecer la proporción correcta. Por ejemplo, si 7/x = 9/12, entonces x = (7×12)/9, lo que da aproximadamente 9.33. Usa este mismo método para todos los ejercicios similares.

Cuando tienes figuras con segmentos paralelos, el Teorema de Thales te permite plantear proporciones. Por ejemplo, si x/24 = 10/15, entonces x = (10×24)/15 = 16. Es como una regla de tres aplicada a la geometría.

Los ejercicios más complejos también se resuelven con proporciones. Si a/3 = 28/12, entonces a = (28×3)/12 = 7. De igual manera, si 80/12 = 1280/c, entonces c = (1280×12)/80 = 192.

💡 Un truco para no confundirte: siempre coloca en la proporción los segmentos que se corresponden en la misma posición. Por ejemplo, si estás comparando triángulos, pon los lados homólogos en el mismo orden en la proporción.

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Semejanza y Proporcionalidad: Ejercicios con Áreas

dacope8@dacope8

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La semejanza entre figuras geométricas nos permite comparar polígonos que tienen la misma forma pero diferente tamaño. Esto es super útil para resolver problemas de proporcionalidad en la vida real, como cuando necesitas dibujar un mapa o calcular alturas indirectamente.

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Semejanza entre polígonos

💡 ¡Dato importante! Todos los triángulos congruentes (exactamente iguales) son semejantes, pero no todos los triángulos semejantes son congruentes. Un triángulo semejante puede ser más grande o más pequeño que otro.

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Ejercicios de proporcionalidad

Los ejercicios más complejos también se resuelven con proporciones. Si a/3 = 28/12, entonces a = (28×3)/12 = 7. De igual manera, si 80/12 = 1280/c, entonces c = (1280×12)/80 = 192.

💡 Un truco para no confundirte: siempre coloca en la proporción los segmentos que se corresponden en la misma posición. Por ejemplo, si estás comparando triángulos, pon los lados homólogos en el mismo orden en la proporción.