Fundamentos de la Probabilidad de Unión

Imaginate que tenés dos grupos de números y querés saber qué tan probable es sacar cualquier número de estos grupos. Eso es exactamente lo que hace la probabilidad de la unión de sucesos.

Cuando trabajás con conjuntos A y B, la unión A ∪ B incluye todos los elementos que están en A, en B, o en ambos. Por ejemplo, si A = {1, 2, 5, 6} y B = {2, 3, 4, 7, 8}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Tip clave: La unión es como hacer una lista de todo lo que puede pasar, sin repetir nada.

La fórmula básica cambia dependiendo de si los sucesos son incompatibles (no pueden pasar al mismo tiempo) o compatibles (sí pueden pasar juntos).

Sucesos Incompatibles - El Caso Más Fácil

Los sucesos incompatibles son como elegir entre opciones que no pueden pasar al mismo tiempo. Piensa en lanzar una moneda: no podés sacar cara Y sello a la vez.

Para sucesos incompatibles, la fórmula es súper simple: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Solo sumás las probabilidades individuales.

Mirá este ejemplo con un dado especial que tiene 3 unos, 2 doses y 1 tres. Si C es "sacar un 1" y D es "sacar un 3", entonces P(C) = 3/6 y P(D) = 1/6.

¿Por qué son incompatibles? Porque en un solo lanzamiento no podés sacar 1 Y 3 al mismo tiempo.

Por eso P(C ∪ D) = 3/6 + 1/6 = 4/6 ≈ 66.6%. ¡Así de fácil!

Sucesos Compatibles - Cuidado con Contar Doble

Acá es donde se pone interesante. Los sucesos compatibles pueden ocurrir al mismo tiempo, así que tenés que tener cuidado de no contar dos veces las probabilidades que se solapan.

La fórmula mágica es: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Restás la intersección para evitar el doble conteo.

Ejemplo práctico: en un dado normal, querés sacar un número par O menor que 3. A = {2, 4, 6} (pares) y B = {1, 2} (menores que 3). Como el 2 está en ambos grupos, A ∩ B = {2}.

La clave: Siempre identificá qué elementos se repiten entre los dos sucesos.

Entonces P(A ∪ B) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 66.6%.

Ejemplo Completo - Practicando con Múltiples Sucesos

Vamos a resolver un problema más complejo para que domines el tema. Tenés una urna con 10 bolas numeradas del 1 al 10, y definís tres sucesos diferentes.

A = números impares {1,3,5,7,9}, B = números primos {1,2,3,5,7}, C = múltiplos de 3 {3,6,9}. Cada uno tiene su probabilidad: P(A) = 5/10, P(B) = 5/10, P(C) = 3/10.

Para calcular las uniones, necesitás encontrar las intersecciones: A ∩ B = {1,3,5,7}, A ∩ C = {3,9}, B ∩ C = {3}.

Resultado final: P(A ∪ B) = 6/10, P(A ∪ C) = 6/10, P(B ∪ C) = 7/10.

Fijate cómo en cada caso restamos la intersección para evitar contar dos veces los elementos comunes. ¡Así de simple es dominar la probabilidad de unión!