Matemáticas

Continuidad y Discontinuidades de Funciones

discontinuidad removible

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Matemáticas 2º Bachillerato - Ciencias Sociales

Dafne@dafne2006

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¡Prepárate para dominar las matemáticas de 2º de Bachillerato! Esta...

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$Matemáticas 2º Bach CCS $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddot$

Matrices

Las matrices son como tablas organizadas de números que te van a salvar en muchos problemas. Piensa en ellas como una forma ordenada de trabajar con varios datos a la vez.

Para sumar y restar matrices, solo tienes que operar cada elemento con su correspondiente de la otra matriz. Es súper fácil: posición por posición. Para multiplicar matrices, aquí viene lo interesante: multiplicas filas por columnas y sumas los resultados.

La matriz adjunta y la matriz inversa son herramientas clave para resolver ecuaciones matriciales. Recuerda que si el determinante es 0, no hay inversa (y te quedas sin solución). Para las ecuaciones matriciales, siempre despeja paso a paso usando las propiedades de las matrices.

💡 Truco: En multiplicación de matrices, el orden importa. A×B no es lo mismo que B×A.

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Sistemas de Ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones se vuelven mucho más manejables cuando los conviertes en matrices. Extraes la matriz de coeficientes (A), la matriz de términos independientes (B) y creas la matriz ampliada (A').

El método de Gauss es tu mejor amigo aquí. Con operaciones entre filas vas simplificando hasta llegar a una forma triangular. Dependiendo de los rangos de las matrices, tendrás tres tipos de sistemas: Compatible Determinado (una solución), Compatible Indeterminado (infinitas soluciones) o Incompatible (sin solución).

La clave está en comparar el rango de A con el rango de A' y el número de incógnitas. Si rg(A) = rg(A') = n°incógnitas, tienes una solución única. Si los rangos son iguales pero menores que las incógnitas, infinitas soluciones.

💡 Consejo: Si rg(A) ≠ rg(A'), el sistema es incompatible. ¡No pierdas tiempo calculando!

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Análisis Matemático - Límites y Continuidad

Los límites te dicen hacia dónde se dirige una función cuando te acercas a un punto. Con polinomios, fíjate en el término de mayor grado. En cocientes de polinomios, compara los grados: si el numerador tiene mayor grado, el límite es infinito; si es menor, es cero; si son iguales, es el cociente de los coeficientes principales.

Las potencias pueden darte formas indeterminadas como $1^∞$ o $∞^0$ . Aquí necesitas técnicas especiales para resolverlas. Los límites laterales te ayudan a estudiar puntos conflictivos donde la función cambia de comportamiento.

Para la continuidad, una función es continua en un punto si el límite existe y coincide con el valor de la función. Las discontinuidades evitables aparecen cuando tienes límites del tipo 0/0 que puedes resolver factorizando.

💡 Recuerda: Las funciones algebraicas son continuas excepto donde se anula el denominador.

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Límites Laterales y Asíntotas

Los límites laterales te permiten analizar funciones definidas a trozos. Calculas el límite por la izquierda y por la derecha del punto conflictivo. Si coinciden, existe el límite; si no, la función tiene una discontinuidad.

Las asíntotas son rectas que la función se acerca pero nunca toca. Las verticales aparecen donde el denominador se hace cero (límite infinito). Las horizontales surgen cuando el límite en el infinito es un número finito.

Las asíntotas oblicuas solo existen si no hay horizontales y el grado del numerador supera en uno al del denominador. Calculas la pendiente m y la ordenada b con límites específicos.

💡 Estrategia: Primero busca asíntotas verticales, luego horizontales, y solo si no hay horizontales, busca oblicuas.

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Derivadas

Las derivadas miden la velocidad de cambio de una función. Domina las reglas básicas: la derivada de una constante es cero, de x es uno, de x^n es nx^ $n-1$ . Para funciones complicadas, usa las reglas de la suma, producto y cociente.

Los máximos y mínimos aparecen donde la derivada es cero. Después de igualar f'(x) = 0 y encontrar los puntos críticos, determinas si son máximos o mínimos estudiando el signo de la derivada a ambos lados del punto.

La recta tangente en un punto (a, f(a)) tiene ecuación y - f(a) = f'(a) $x - a$ . Es la recta que mejor aproxima la función en ese punto.

💡 Tip: Si f'(x) cambia de positivo a negativo, tienes un máximo. Si cambia de negativo a positivo, un mínimo.

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Programación Lineal y Probabilidad

En programación lineal trabajas con inecuaciones que delimitan una región factible. Pueden ser estrictas (< >) o amplias (≤ ≥). El proceso es: resolver las inecuaciones, dibujar la región, encontrar los vértices y evaluar la función objetivo en cada uno.

La probabilidad combina eventos usando operaciones básicas. La unión P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) te da la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos. La intersección P(A∩B) = P(A)·P(B) funciona cuando los eventos son independientes.

La diferencia P $A-B$ = P(A) - P(A∩B) te dice la probabilidad de que ocurra A pero no B.

💡 Importante: En programación lineal, la solución óptima siempre está en un vértice de la región factible.

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Matemáticas 2º Bachillerato - Ciencias Sociales

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¡Prepárate para dominar las matemáticas de 2º de Bachillerato! Esta guía cubre desde matrices y sistemas de ecuaciones hasta derivadas y probabilidad. Todo lo que necesitas para tus exámenes está aquí, explicado de forma clara y con ejemplos prácticos.

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Matrices

Las matrices son como tablas organizadas de números que te van a salvar en muchos problemas. Piensa en ellas como una forma ordenada de trabajar con varios datos a la vez.

💡 Truco: En multiplicación de matrices, el orden importa. A×B no es lo mismo que B×A.

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Sistemas de Ecuaciones

💡 Consejo: Si rg(A) ≠ rg(A'), el sistema es incompatible. ¡No pierdas tiempo calculando!

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Análisis Matemático - Límites y Continuidad

💡 Recuerda: Las funciones algebraicas son continuas excepto donde se anula el denominador.

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Límites Laterales y Asíntotas

Las asíntotas oblicuas solo existen si no hay horizontales y el grado del numerador supera en uno al del denominador. Calculas la pendiente m y la ordenada b con límites específicos.

💡 Estrategia: Primero busca asíntotas verticales, luego horizontales, y solo si no hay horizontales, busca oblicuas.

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Derivadas

La recta tangente en un punto (a, f(a)) tiene ecuación y - f(a) = f'(a) $x - a$ . Es la recta que mejor aproxima la función en ese punto.

💡 Tip: Si f'(x) cambia de positivo a negativo, tienes un máximo. Si cambia de negativo a positivo, un mínimo.

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Programación Lineal y Probabilidad

La diferencia P $A-B$ = P(A) - P(A∩B) te dice la probabilidad de que ocurra A pero no B.

💡 Importante: En programación lineal, la solución óptima siempre está en un vértice de la región factible.

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