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Límites de Funciones y Asíntotas

límite

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Introducción a los Límites de Funciones

Paula López Aguilar@paula__.15

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Los límites de funciones son una herramienta fundamental en matemáticas...

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LIMITES DE FUNCIONES

## 1 DOMINIO Y RECONNIDO

Dom f= (-0, 1) (1,00)

El doninio siempre va ha ser un intervalo e dos lo miramo

Dominio, Recorrido y Funciones Definidas a Trozos

Antes de calcular límites, necesitas entender dónde "vive" tu función. El dominio son todos los valores de x que puedes usar, y siempre lo buscas mirando las restricciones en x. El recorrido (o imagen) son todos los valores de y que puede tomar la función.

Las funciones definidas a trozos son funciones que cambian su fórmula según el intervalo de x en el que estés. Por ejemplo, puede ser f(x) = 2x+5 si x ≤ 1, pero f(x) = x+1 si x > 1.

Para que exista el límite en un punto, los límites laterales (por la izquierda y por la derecha) deben coincidir. Si lim f(x) desde la izquierda ≠ lim f(x) desde la derecha, entonces el límite no existe en ese punto.

Truco importante: En las funciones a trozos, siempre revisa los puntos donde cambia la fórmula - ahí es donde pueden fallar los límites.

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Límites que se van al Infinito

Cuando calculas límites y te sale algo como 4/0, no te asustes - significa que la función se va al infinito. Si el denominador se acerca a 0⁺ (por valores positivos), el límite será +∞ o -∞ según el signo del numerador.

Los límites en el infinito tienen sus propias reglas cuando te aparece ∞/∞ o 0/0 (indeterminaciones). Para resolverlos, compara los grados del numerador y denominador: si el grado del numerador es mayor, el límite es ∞; si son iguales, divide los coeficientes principales; si el denominador tiene mayor grado, el límite es 0.

Cuando te encuentres con 0/0, usa la regla de L'Hôpital: deriva numerador y denominador por separado y vuelve a calcular el límite. Es como tener un superpoder matemático para resolver indeterminaciones.

Consejo de examen: Si te sale 0/0 o ∞/∞, siempre intenta L'Hôpital primero - es el método más directo y rápido.

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Asíntotas Verticales y Horizontales

Las asíntotas verticales aparecen donde la función "explota" hacia ±∞. Para encontrarlas, busca dónde se hace cero el denominador y verifica que el límite sea infinito. Si los límites laterales son diferentes $uno +∞ y otro -∞$ , sigue habiendo asíntota vertical.

Para funciones logarítmicas como log $2x-4$ , la asíntota vertical está donde el argumento se hace cero. En este caso, cuando 2x-4 = 0, o sea x = 2.

Las asíntotas horizontales se encuentran calculando el límite cuando x → ±∞. Si el límite es un número k, entonces y = k es tu asíntota horizontal. Si la función se comporta igual hacia +∞ y -∞, tienes asíntota horizontal.

Regla de oro: Si hay asíntota horizontal, no puede haber asíntota oblicua. Solo puede existir una de las dos.

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Asíntotas Oblicuas

Las asíntotas oblicuas tienen la forma y = mx + n y aparecen cuando no hay asíntota horizontal pero la función sigue una línea recta cuando x se va al infinito.

Para encontrarlas, usa estas fórmulas: m = lim f(x)/x cuando x→∞, y n = lim $f(x) - mx$ cuando x→∞. Si m existe y es finito (pero no cero), entonces puedes calcular n.

Por ejemplo, con f(x) = $x²+1$ /x, obtienes m = 1 y n = 0, así que la asíntota oblicua es y = x. Esto significa que cuando x es muy grande, tu función se comporta casi como la recta y = x.

Tip para no equivocarte: Calcula siempre las asíntotas en este orden: verticales primero, luego horizontales, y solo si no hay horizontal, busca la oblicua.

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Introducción a los Límites de Funciones

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Los límites de funciones son una herramienta fundamental en matemáticas que te permite entender cómo se comporta una función cuando se acerca a ciertos valores. Te van a ayudar a resolver problemas complejos y son clave para aprobar tus exámenes...

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Dominio, Recorrido y Funciones Definidas a Trozos

Las funciones definidas a trozos son funciones que cambian su fórmula según el intervalo de x en el que estés. Por ejemplo, puede ser f(x) = 2x+5 si x ≤ 1, pero f(x) = x+1 si x > 1.

Truco importante: En las funciones a trozos, siempre revisa los puntos donde cambia la fórmula - ahí es donde pueden fallar los límites.

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Límites que se van al Infinito

Consejo de examen: Si te sale 0/0 o ∞/∞, siempre intenta L'Hôpital primero - es el método más directo y rápido.

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Asíntotas Verticales y Horizontales

Para funciones logarítmicas como log $2x-4$ , la asíntota vertical está donde el argumento se hace cero. En este caso, cuando 2x-4 = 0, o sea x = 2.

Regla de oro: Si hay asíntota horizontal, no puede haber asíntota oblicua. Solo puede existir una de las dos.

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Asíntotas Oblicuas

Las asíntotas oblicuas tienen la forma y = mx + n y aparecen cuando no hay asíntota horizontal pero la función sigue una línea recta cuando x se va al infinito.

Para encontrarlas, usa estas fórmulas: m = lim f(x)/x cuando x→∞, y n = lim $f(x) - mx$ cuando x→∞. Si m existe y es finito (pero no cero), entonces puedes calcular n.

Por ejemplo, con f(x) = $x²+1$ /x, obtienes m = 1 y n = 0, así que la asíntota oblicua es y = x. Esto significa que cuando x es muy grande, tu función se comporta casi como la recta y = x.

Tip para no equivocarte: Calcula siempre las asíntotas en este orden: verticales primero, luego horizontales, y solo si no hay horizontal, busca la oblicua.