Matemáticas

Funciones Logarítmicas y Exponenciales

Logaritmos

Matemáticas1,455 views·Updated Jun 20, 2026·8 pages

Introducción al Álgebra: Conceptos Básicos

Patricia Magan@patriciamagan

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¿Te da pereza el álgebra? ¡Tranquilo! El álgebra es como...

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## IES Lazarillo de Tormes

## ÁLGEBRA

Matemáticas I

1. **FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO**

Factorizar un polinomio consiste en expresarlo

Factorización de Polinomios

¿Alguna vez has tenido que desmontar algo para entender cómo funciona? Eso es exactamente lo que hacemos cuando factorizamos un polinomio: lo descomponemos en sus "piezas" más simples.

Factorizar significa expresar un polinomio como producto de varios polinomios más sencillos. Un polinomio es irreducible cuando ya no se puede descomponer más, como una pieza fundamental que no se puede dividir.

El proceso es súper sistemático: primero sacas factor común si es posible, luego buscas las raíces enteras entre los divisores del término independiente. Si encuentras una raíz a, divides el polinomio por $x-a$ y sigues con el proceso hasta el final.

💡 Truco clave: Las posibles raíces enteras de un polinomio siempre están entre los divisores del término independiente. ¡No pierdas tiempo probando otros números!

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Operaciones con Fracciones Algebraicas

Las fracciones algebraicas funcionan exactamente igual que las fracciones numéricas, solo que con letras. Para simplificar, factorizas numerador y denominador y cancelas los factores comunes.

Para sumar o restar fracciones algebraicas necesitas encontrar el común denominador, que será el m.c.m. de todos los denominadores. Después sumas los numeradores y simplificas si puedes.

Multiplicar y dividir es aún más fácil: para multiplicar, multiplicas numeradores entre sí y denominadores entre sí. Para dividir, le das la vuelta a la segunda fracción y multiplicas.

💡 Dato importante: Siempre factoriza primero los polinomios antes de operar. Te ahorrará mucho trabajo y evitarás errores.

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Ecuaciones de Segundo Grado

Las ecuaciones de segundo grado son del tipo ax² + bx + c = 0, y la fórmula mágica para resolverlas es: x = $-b ± √(b²-4ac)$ /2a. ¡Apréndela de memoria porque la vas a usar muchísimo!

El discriminante $b²-4ac$ te dice qué tipo de soluciones tendrás: si es positivo, dos soluciones distintas; si es cero, una solución doble; si es negativo, no hay soluciones reales.

Las ecuaciones incompletas son más fáciles: si falta b, despejas x² y sacas raíz cuadrada. Si falta c, sacas factor común x. Para las ecuaciones bicuadradas (solo potencias pares), haces el cambio z = x².

💡 Consejo pro: En ecuaciones radicales, siempre comprueba tus soluciones al final. Algunas pueden ser falsas debido a las operaciones que haces.

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Ecuaciones Especiales

Para resolver ecuaciones de grado superior, factoriza el polinomio del primer miembro y aplica que si un producto es cero, al menos uno de sus factores debe ser cero.

Las ecuaciones logarítmicas se resuelven usando las propiedades de los logaritmos. Recuerda que log A = log B implica que A = B. Agrupa todos los logaritmos en uno solo y despeja.

En las ecuaciones exponenciales, intenta expresar ambos miembros como potencias de la misma base. Si no es posible, toma logaritmos en ambos lados y usa que log(aˣ) = x·log(a).

💡 Estrategia ganadora: Si no puedes usar la misma base en exponenciales, los logaritmos siempre te sacarán del apuro. Es tu plan B infalible.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden resolver de tres formas, pero el método de reducción es el más eficiente para exámenes.

En el método de sustitución despejas una incógnita y la sustituyes en la otra ecuación. En el de igualación despejas la misma incógnita en ambas ecuaciones y las igualas.

El método de reducción consiste en eliminar una incógnita sumando o restando las ecuaciones. A veces necesitas multiplicar una ecuación por un número para que los coeficientes se cancelen perfectamente.

💡 Tip de examen: El método de reducción es más rápido y tiene menos riesgo de errores de cálculo. Domínalo bien y te ahorrará tiempo precioso.

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Sistemas No Lineales y Método de Gauss

Los sistemas no lineales tienen al menos una ecuación de segundo grado o superior. Aquí el método de sustitución es tu mejor aliado: despeja una incógnita y sustituye en la otra ecuación.

Para sistemas con tres incógnitas, usa el método de Gauss: transforma el sistema en uno triangular donde cada ecuación tenga una incógnita menos que la anterior. Es como subir una escalera paso a paso.

Las inecuaciones de primer grado se resuelven igual que las ecuaciones, pero cuidado: si multiplicas o divides por un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad.

💡 Alerta roja: En inecuaciones, multiplicar por negativo invierte el signo. Es el error más común, así que márcalo en rojo en tu mente.

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Inecuaciones de Segundo Grado y Superior

Para resolver inecuaciones de segundo grado, factoriza el polinomio, encuentra sus raíces y estudia el signo en cada intervalo. Dibuja una recta con las raíces y analiza dónde es positivo o negativo.

Las inecuaciones de grado superior siguen la misma lógica: factoriza, encuentra todas las raíces, representa en la recta y estudia signos por zonas.

El truco está en hacer la tabla de signos correctamente: evalúa el signo del polinomio en cada intervalo y elige las zonas que cumplan la desigualdad.

💡 Método visual: Dibuja siempre la recta con las raíces. Ver gráficamente los intervalos te ayuda a no confundirte con los signos.

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Inecuaciones Fraccionarias

Las inecuaciones fraccionarias tienen la forma P(x)/Q(x) > 0. Aquí necesitas estudiar por separado el signo del numerador y del denominador, y luego determinar el signo del cociente.

Encuentra las raíces tanto del numerador como del denominador. Después haz una tabla con los signos de cada uno en cada intervalo y determina el signo final del cociente.

Recuerda que el denominador nunca puede ser cero, así que esos puntos quedan excluidos de la solución (se representan con paréntesis, no con corchetes).

💡 Precaución: En fraccionarias, las raíces del denominador NUNCA forman parte de la solución, aunque la desigualdad incluya el igual.

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Introducción al Álgebra: Conceptos Básicos

Patricia Magan@patriciamagan

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¿Te da pereza el álgebra? ¡Tranquilo! El álgebra es como aprender las reglas de un juego: una vez que las dominas, todo fluye de forma natural. Aquí vas a descubrir las técnicas esenciales para factorizar polinomios, resolver ecuaciones de todo...

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Factorización de Polinomios

¿Alguna vez has tenido que desmontar algo para entender cómo funciona? Eso es exactamente lo que hacemos cuando factorizamos un polinomio: lo descomponemos en sus "piezas" más simples.

💡 Truco clave: Las posibles raíces enteras de un polinomio siempre están entre los divisores del término independiente. ¡No pierdas tiempo probando otros números!

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Operaciones con Fracciones Algebraicas

Las fracciones algebraicas funcionan exactamente igual que las fracciones numéricas, solo que con letras. Para simplificar, factorizas numerador y denominador y cancelas los factores comunes.

Para sumar o restar fracciones algebraicas necesitas encontrar el común denominador, que será el m.c.m. de todos los denominadores. Después sumas los numeradores y simplificas si puedes.

Multiplicar y dividir es aún más fácil: para multiplicar, multiplicas numeradores entre sí y denominadores entre sí. Para dividir, le das la vuelta a la segunda fracción y multiplicas.

💡 Dato importante: Siempre factoriza primero los polinomios antes de operar. Te ahorrará mucho trabajo y evitarás errores.

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Ecuaciones de Segundo Grado

Las ecuaciones de segundo grado son del tipo ax² + bx + c = 0, y la fórmula mágica para resolverlas es: x = $-b ± √(b²-4ac)$ /2a. ¡Apréndela de memoria porque la vas a usar muchísimo!

El discriminante $b²-4ac$ te dice qué tipo de soluciones tendrás: si es positivo, dos soluciones distintas; si es cero, una solución doble; si es negativo, no hay soluciones reales.

💡 Consejo pro: En ecuaciones radicales, siempre comprueba tus soluciones al final. Algunas pueden ser falsas debido a las operaciones que haces.

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Ecuaciones Especiales

Para resolver ecuaciones de grado superior, factoriza el polinomio del primer miembro y aplica que si un producto es cero, al menos uno de sus factores debe ser cero.

Las ecuaciones logarítmicas se resuelven usando las propiedades de los logaritmos. Recuerda que log A = log B implica que A = B. Agrupa todos los logaritmos en uno solo y despeja.

En las ecuaciones exponenciales, intenta expresar ambos miembros como potencias de la misma base. Si no es posible, toma logaritmos en ambos lados y usa que log(aˣ) = x·log(a).

💡 Estrategia ganadora: Si no puedes usar la misma base en exponenciales, los logaritmos siempre te sacarán del apuro. Es tu plan B infalible.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden resolver de tres formas, pero el método de reducción es el más eficiente para exámenes.

En el método de sustitución despejas una incógnita y la sustituyes en la otra ecuación. En el de igualación despejas la misma incógnita en ambas ecuaciones y las igualas.

💡 Tip de examen: El método de reducción es más rápido y tiene menos riesgo de errores de cálculo. Domínalo bien y te ahorrará tiempo precioso.

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Sistemas No Lineales y Método de Gauss

Los sistemas no lineales tienen al menos una ecuación de segundo grado o superior. Aquí el método de sustitución es tu mejor aliado: despeja una incógnita y sustituye en la otra ecuación.

Las inecuaciones de primer grado se resuelven igual que las ecuaciones, pero cuidado: si multiplicas o divides por un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad.

💡 Alerta roja: En inecuaciones, multiplicar por negativo invierte el signo. Es el error más común, así que márcalo en rojo en tu mente.

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Inecuaciones de Segundo Grado y Superior

Las inecuaciones de grado superior siguen la misma lógica: factoriza, encuentra todas las raíces, representa en la recta y estudia signos por zonas.

El truco está en hacer la tabla de signos correctamente: evalúa el signo del polinomio en cada intervalo y elige las zonas que cumplan la desigualdad.

💡 Método visual: Dibuja siempre la recta con las raíces. Ver gráficamente los intervalos te ayuda a no confundirte con los signos.

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Inecuaciones Fraccionarias

Las inecuaciones fraccionarias tienen la forma P(x)/Q(x) > 0. Aquí necesitas estudiar por separado el signo del numerador y del denominador, y luego determinar el signo del cociente.

Encuentra las raíces tanto del numerador como del denominador. Después haz una tabla con los signos de cada uno en cada intervalo y determina el signo final del cociente.

Recuerda que el denominador nunca puede ser cero, así que esos puntos quedan excluidos de la solución (se representan con paréntesis, no con corchetes).

💡 Precaución: En fraccionarias, las raíces del denominador NUNCA forman parte de la solución, aunque la desigualdad incluya el igual.