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Todo sobre la circunferencia

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Tema: La circunferencia

Objetivo: Identificar caracteristicas de la circunferencia
y graficar

La circunferencia

La circunferencia tambien

¿Qué es la ecuación de una circunferencia?

Imagínate que quieres dibujar un círculo perfecto en un plano cartesiano. La ecuación de la circunferencia es como una receta matemática que te dice exactamente dónde ubicar cada punto para formar ese círculo.

La fórmula más básica es x² + y² = r², donde r es el radio del círculo. Esta ecuación funciona cuando el centro del círculo está en el origen (0,0). El radio se calcula usando la fórmula r = √ $x² + y²$ .

Por ejemplo, si tienes x² + y² = 900, esto significa que el radio es √900 = 30 unidades. ¡Es así de simple!

💡 Dato clave: El número que está al lado derecho de la ecuación siempre es el radio al cuadrado (r²).

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Dos tipos principales de ecuaciones

Existen dos formas de escribir la ecuación de una circunferencia, dependiendo de dónde esté ubicado el centro.

Centro en el origen (0,0): Usas r² = x² + y². Es la versión más simple. Si tienes 3² = x² + y², significa que tu círculo tiene radio 3 y está centrado en el punto (0,0).

Centro en cualquier punto (h,k): Usas r² = $x-h$ ² + $y-k$ ². Aquí h y k son las coordenadas del centro. Por ejemplo, 3² = $x-2$ ² + $y-1$ ² representa un círculo con radio 3 y centro en (2,1).

💡 Truco: Si ves signos negativos dentro de los paréntesis, el centro tiene coordenadas positivas, y viceversa.

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Ejemplos prácticos paso a paso

Veamos algunos casos reales para que domines la técnica. Con x² + y² = 169, el centro está en el origen y el radio es √169 = 13.

Para 49 = $x+3$ ² + $y-2$ ², el centro está en (-3,2) porque los signos cambian, y el radio es √49 = 7cm.

En el caso de 4² = $x-9$ ² + $y+3$ ², tenemos centro en (9,-3) y radio 4. Fíjate que $y+3$ ² significa que la coordenada y del centro es -3.

💡 Recuerda: Siempre cambia los signos para encontrar las coordenadas del centro.

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Verificando puntos y resolviendo ejercicios

¿Cómo saber si un punto pertenece a una circunferencia? Simplemente sustituyes las coordenadas en la ecuación. Si el resultado es correcto, el punto está sobre el círculo.

Para verificar si (3,4) pertenece a x² + y² = 25: sustituimos y obtenemos 3² + 4² = 9 + 16 = 25. ¡Correcto! El punto sí está en la circunferencia.

Los ejercicios típicos incluyen graficar circunferencias como x² + y² = 36 (radio 6, centro en origen) o $x-4$ ² + $y+6$ ² = 100 $radio 10, centro en (4,-6)$ .

💡 Estrategia: Siempre identifica primero el centro y el radio antes de graficar.

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Graficando circunferencias correctamente

Graficar una circunferencia es como usar un compás digital. Primero ubicas el centro, luego marcas puntos a la distancia del radio.

Para x² + y² = 36, el centro es (0,0) y radio 6. Marca puntos en (6,0), (-6,0), (0,6) y (0,-6), luego conecta suavemente.

Con $x-4$ ² + $y+6$ ² = 100, el centro es (4,-6) y radio 10. Desde ese punto, marca distancias de 10 unidades en todas las direcciones.

💡 Consejo: Usa papel cuadriculado para mayor precisión al graficar.

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Más ejemplos para practicar

Continuemos con x² + y² = 81. Aquí el centro sigue siendo (0,0) pero el radio es √81 = 9 unidades.

Para $x+3$ ² + $y-5$ ² = 49, el centro está en (-3,5) y el radio es 7. Recuerda que los signos dentro de los paréntesis son opuestos a las coordenadas reales del centro.

Practicar estos ejercicios te dará la confianza necesaria para resolver cualquier problema de circunferencias. La clave está en identificar correctamente el centro y calcular bien el radio.

💡 Práctica: Intenta crear tus propias ecuaciones eligiendo diferentes centros y radios.

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En el caso de 4² = $x-9$ ² + $y+3$ ², tenemos centro en (9,-3) y radio 4. Fíjate que $y+3$ ² significa que la coordenada y del centro es -3.

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Practicar estos ejercicios te dará la confianza necesaria para resolver cualquier problema de circunferencias. La clave está en identificar correctamente el centro y calcular bien el radio.

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