Descomposición en Fracciones Parciales

Enfrentamos una integral donde aparece $\frac{x²+x+4}{\sqrt{x³-25x}}$. Primero simplificamos el denominador identificando que $\sqrt{x³-25x} = \sqrt{x(x+5)(x-5)}$.

Para descomponer la expresión, establecemos: $\frac{x²+x+4}{x(x+5)(x-5)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+5} + \frac{C}{x-5}$

Al encontrar un común denominador en el lado derecho y comparar con el numerador original, obtenemos: $x²+x+4 = A(x+5)(x-5)+B(x)(x-5)+C(x)(x+5)$

💡 Recuerda que puedes verificar tus resultados sustituyendo los valores de A, B y C en la expresión original para comprobar que obtienes el numerador correcto.

Desarrollando y agrupando términos semejantes:

• Términos con $x²$: $A+B+C=1$
• Términos con $x$: $-5B+5C=1$
• Términos independientes: $-25A=4$

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

1. De la tercera ecuación: $A = -\frac{4}{25}$
2. Sustituyendo y operando: $B = \frac{12}{25}$
3. Y finalmente: $C = \frac{1+5B}{5} = \frac{1+5(\frac{12}{25})}{5} = \frac{29}{25}$