¿Qué son las inecuaciones cuadráticas?

Una inecuación cuadrática es básicamente una ecuación de segundo grado pero con símbolos de desigualdad en lugar del signo igual. Se ve así: ax² + bx + c ≤ 0, donde puedes tener cualquier símbolo como >, <, ≥ o ≤.

La diferencia clave con las ecuaciones normales es que aquí no buscas un valor exacto de x, sino un rango de valores que hacen verdadera la desigualdad. Es como preguntarte "¿para qué valores de x esta expresión es positiva o negativa?"

Para resolverlas necesitas seguir estos pasos: primero hallas las dos raíces de la ecuación, luego factorizas el polinomio, determinas el signo en cada intervalo y finalmente expresas la solución como una unión de intervalos.

💡 Tip clave: Recuerda que las inecuaciones cuadráticas siempre te dan intervalos como respuesta, no puntos específicos.

Resolviendo ejercicios paso a paso

Veamos cómo resolver x² + 8x + 1 > 2x - 4. Primero mueves todos los términos a un lado: x² + 6x + 5 > 0. Después factorizas y obtienes $x + 5$$x + 1$ > 0.

Las raíces críticas son x = -5 y x = -1. Estos puntos dividen la recta numérica en tres intervalos que debes analizar por separado.

Para determinar el signo en cada intervalo, pruebas valores: cuando x < -5 ambos factores son negativos (producto positivo), cuando -5 < x < -1 tienes un factor positivo y otro negativo (producto negativo), y cuando x > -1 ambos factores son positivos.

Como necesitas que la expresión sea mayor que cero, la solución final es x ∈ (-∞, -5) ∪ (-1, ∞). Esto significa que la inecuación se cumple cuando x está fuera del intervalo (-5, -1).

💡 Recuerda: Siempre verifica tu respuesta probando un valor de cada intervalo en la inecuación original.