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Guía de Ejercicios sobre Inecuaciones Matemáticas

carlos.lima@carlos.lima_8wiztq13

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¿Alguna vez te has preguntado cómo resolver esos problemas matemáticos...

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# TALLER INECUACIONES.

Ejercicios 1.1:
- 7, 9, 11,12, 15, 17, 19,20,21,23,30,34, 35, 37, 40, 43, 47, 48,51, 55.

En los problemas 7 a 14, e

Notación de Intervalos y Desigualdades Básicas

Convertir entre notación de intervalos y desigualdades es más fácil de lo que parece. Cuando ves símbolos como < o ≤, simplemente los traduces a intervalos usando corchetes y paréntesis.

Los paréntesis ( ) se usan cuando el número NO está incluido (< o >), mientras que los corchetes [ ] se usan cuando SÍ está incluido (≤ o ≥). Por ejemplo: x < 0 se escribe como (-∞, 0) y x ≥ 5 se convierte en [5, +∞).

Para intervalos cerrados como [-7, 9], la desigualdad equivalente es -7 ≤ x ≤ 9. Esto significa que x puede tomar cualquier valor entre -7 y 9, incluyendo ambos extremos.

Tip clave: Si no sabes si usar paréntesis o corchetes, pregúntate: "¿Puede x ser exactamente igual a ese número?" Si sí, usa corchetes; si no, usa paréntesis.

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Resolviendo Inecuaciones Lineales

Las inecuaciones lineales se resuelven casi igual que las ecuaciones normales, pero hay una regla súper importante: cuando multiplicas o divides por un número negativo, debes cambiar el sentido de la desigualdad.

Para resolver x + 3 > -2, simplemente despejas: x > -5, que en intervalos es (-5, +∞). Con fracciones como 3x/2 + 4 ≤ 10, primero restas 4 de ambos lados, luego multiplicas por 2/3.

Las inecuaciones compuestas como -1 ≤ x ≤ 6 significan que x está "atrapada" entre dos valores. Estas son súper comunes en problemas de la vida real donde necesitas un rango específico.

Recuerda: Siempre verifica tu respuesta sustituyendo un valor del intervalo en la inecuación original.

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Técnicas para Inecuaciones con Fracciones

Cuando trabajas con inecuaciones fraccionarias, el proceso es similar pero requieres más cuidado. En 3x/2 ≤ 6, multiplicas ambos lados por 2/3 (que es positivo, así que no cambias el signo).

Para resolver 3/2 - x > x, mueves todas las x a un lado: 3/2 > 2x, luego divides por 2 para obtener x < 3/4. El intervalo sería (-∞, 3/4).

La clave está en mantener el orden de las operaciones y recordar que dividir por números positivos no cambia la dirección de la desigualdad.

Estrategia ganadora: Siempre simplifica paso a paso y escribe cada transformación claramente para evitar errores.

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Inecuaciones Compuestas y con Números Negativos

Las inecuaciones dobles como 3 < x + 4 ≤ 10 se resuelven aplicando la misma operación a las tres partes. Restando 4: -1 ≤ x ≤ 6, que da el intervalo [-1, 6].

Cuando el denominador es negativo, como en 2 ≤ $4x + 2$ /(-3) ≤ 10, multiplicas por -3 y cambias ambos signos de desigualdad: -6 ≥ 4x + 2 ≥ -30. Esto se convierte en -8 ≥ 4x ≥ -32.

Finalmente, divides por 4 y reordenas para obtener -8 ≤ x ≤ -2, o en intervalos: [-8, -2].

¡Cuidado! Cuando multiplicas por números negativos en inecuaciones dobles, debes cambiar AMBOS signos de desigualdad.

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Inecuaciones Cuadráticas y No Lineales

Las inecuaciones cuadráticas como x² - 9 < 0 se resuelven factorizando primero: $x + 3$ $x - 3$ < 0. Necesitas que el producto sea negativo, así que un factor debe ser positivo y el otro negativo.

Usando la tabla de signos, marcas los puntos críticos $-3 y 3$ en una recta numérica. Analizas el signo de cada factor en cada región para encontrar dónde el producto es negativo.

Para inecuaciones como x $x - 5$ ≥ 0, buscas donde el producto es cero o positivo. Los puntos críticos son x = 0 y x = 5, y la solución incluye estos puntos: (-∞, 0] ∪ [5, +∞).

Método efectivo: La tabla de signos es tu mejor amiga para inecuaciones no lineales. Te ahorra tiempo y reduce errores.

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Productos de Múltiples Factores

Con tres o más factores como $x + 1$ $x - 2$ $x - 4$ < 0, el proceso es similar pero más complejo. Encuentras los puntos críticos: x = -1, x = 2, y x = 4.

Construyes una tabla donde evalúas el signo de cada factor en cada región. Para que el producto total sea negativo, necesitas un número impar de factores negativos.

La solución para este ejemplo es (-∞, -1) ∪ (2, 4), porque en estas regiones el producto es efectivamente negativo.

Truco mental: En productos con muchos factores, cuenta cuántos son negativos en cada región. Si es impar, el resultado es negativo.

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Inecuaciones Racionales Básicas

Las inecuaciones racionales como 5/ $x + 8$ < 0 requieren identificar cuándo la fracción es negativa y cuándo está indefinida. Aquí, el denominador se hace cero cuando x = -8.

Como el numerador (5) es siempre positivo, la fracción es negativa solo cuando x + 8 < 0, es decir, cuando x < -8. La solución es (-∞, -8).

Para 10/ $x² + 2$ > 0, nota que x² + 2 es siempre positivo (nunca cero), así que la fracción siempre es positiva. La solución es todos los números reales.

Punto importante: Siempre identifica primero dónde el denominador es cero, porque esos valores NUNCA pueden ser parte de la solución.

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Inecuaciones Racionales Complejas

Para resolver $x + 1$ / $x - 1$ + 2 > 0, primero combinas en una sola fracción: $x + 1 + 2(x - 1)$ / $x - 1$ > 0, que simplifica a $3x - 1$ / $x - 1$ > 0.

Ahora tienes una fracción que debe ser positiva. Los puntos críticos son x = 1/3 (donde el numerador es cero) y x = 1 (donde el denominador es cero).

Usando la tabla de signos, determinas que la fracción es positiva cuando (-∞, 1/3) ∪ (1, +∞). Recuerda que x = 1 no puede incluirse porque hace el denominador cero.

Estrategia clave: Siempre convierte inecuaciones racionales complejas a una sola fracción antes de aplicar la tabla de signos.

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Inecuaciones Racionales Avanzadas

Para $x² - 2x + 3$ / $x + 1$ ≤ 1, primero mueves todo a un lado: $x² - 2x + 3$ / $x + 1$ - 1 ≤ 0. Esto se convierte en $x² - 3x + 2$ / $x + 1$ ≤ 0.

Factorizas el numerador: x² - 3x + 2 = $x - 1$ $x - 2$ . Ahora tienes $(x - 1)(x - 2)$ / $x + 1$ ≤ 0.

Los puntos críticos son x = -1, x = 1, y x = 2. Usando la tabla de signos, la solución es (-∞, -1) ∪ [1, 2]. Nota que x = 1 y x = 2 se incluyen (corchetes) porque hacen la expresión igual a cero.

Detalle crucial: En inecuaciones con ≤ o ≥, incluyes los puntos que hacen el numerador cero, pero NUNCA los que hacen el denominador cero.

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Matemáticas413 views·Updated Jun 25, 2026·10 pages

Guía de Ejercicios sobre Inecuaciones Matemáticas

carlos.lima@carlos.lima_8wiztq13

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¿Alguna vez te has preguntado cómo resolver esos problemas matemáticos donde tienes que encontrar todos los valores posibles de x? Las inecuaciones son súper útiles para esto y aparecen en muchas situaciones de la vida real, desde calcular presupuestos hasta...

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Notación de Intervalos y Desigualdades Básicas

Convertir entre notación de intervalos y desigualdades es más fácil de lo que parece. Cuando ves símbolos como < o ≤, simplemente los traduces a intervalos usando corchetes y paréntesis.

Para intervalos cerrados como [-7, 9], la desigualdad equivalente es -7 ≤ x ≤ 9. Esto significa que x puede tomar cualquier valor entre -7 y 9, incluyendo ambos extremos.

Tip clave: Si no sabes si usar paréntesis o corchetes, pregúntate: "¿Puede x ser exactamente igual a ese número?" Si sí, usa corchetes; si no, usa paréntesis.

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Resolviendo Inecuaciones Lineales

Para resolver x + 3 > -2, simplemente despejas: x > -5, que en intervalos es (-5, +∞). Con fracciones como 3x/2 + 4 ≤ 10, primero restas 4 de ambos lados, luego multiplicas por 2/3.

Las inecuaciones compuestas como -1 ≤ x ≤ 6 significan que x está "atrapada" entre dos valores. Estas son súper comunes en problemas de la vida real donde necesitas un rango específico.

Recuerda: Siempre verifica tu respuesta sustituyendo un valor del intervalo en la inecuación original.

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Técnicas para Inecuaciones con Fracciones

Cuando trabajas con inecuaciones fraccionarias, el proceso es similar pero requieres más cuidado. En 3x/2 ≤ 6, multiplicas ambos lados por 2/3 (que es positivo, así que no cambias el signo).

Para resolver 3/2 - x > x, mueves todas las x a un lado: 3/2 > 2x, luego divides por 2 para obtener x < 3/4. El intervalo sería (-∞, 3/4).

La clave está en mantener el orden de las operaciones y recordar que dividir por números positivos no cambia la dirección de la desigualdad.

Estrategia ganadora: Siempre simplifica paso a paso y escribe cada transformación claramente para evitar errores.

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Las inecuaciones dobles como 3 < x + 4 ≤ 10 se resuelven aplicando la misma operación a las tres partes. Restando 4: -1 ≤ x ≤ 6, que da el intervalo [-1, 6].

Cuando el denominador es negativo, como en 2 ≤ $4x + 2$ /(-3) ≤ 10, multiplicas por -3 y cambias ambos signos de desigualdad: -6 ≥ 4x + 2 ≥ -30. Esto se convierte en -8 ≥ 4x ≥ -32.

Finalmente, divides por 4 y reordenas para obtener -8 ≤ x ≤ -2, o en intervalos: [-8, -2].

¡Cuidado! Cuando multiplicas por números negativos en inecuaciones dobles, debes cambiar AMBOS signos de desigualdad.

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Inecuaciones Cuadráticas y No Lineales

Usando la tabla de signos, marcas los puntos críticos $-3 y 3$ en una recta numérica. Analizas el signo de cada factor en cada región para encontrar dónde el producto es negativo.

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Método efectivo: La tabla de signos es tu mejor amiga para inecuaciones no lineales. Te ahorra tiempo y reduce errores.

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Productos de Múltiples Factores

Con tres o más factores como $x + 1$ $x - 2$ $x - 4$ < 0, el proceso es similar pero más complejo. Encuentras los puntos críticos: x = -1, x = 2, y x = 4.

Construyes una tabla donde evalúas el signo de cada factor en cada región. Para que el producto total sea negativo, necesitas un número impar de factores negativos.

La solución para este ejemplo es (-∞, -1) ∪ (2, 4), porque en estas regiones el producto es efectivamente negativo.

Truco mental: En productos con muchos factores, cuenta cuántos son negativos en cada región. Si es impar, el resultado es negativo.

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Inecuaciones Racionales Básicas

Las inecuaciones racionales como 5/ $x + 8$ < 0 requieren identificar cuándo la fracción es negativa y cuándo está indefinida. Aquí, el denominador se hace cero cuando x = -8.

Como el numerador (5) es siempre positivo, la fracción es negativa solo cuando x + 8 < 0, es decir, cuando x < -8. La solución es (-∞, -8).

Para 10/ $x² + 2$ > 0, nota que x² + 2 es siempre positivo (nunca cero), así que la fracción siempre es positiva. La solución es todos los números reales.

Punto importante: Siempre identifica primero dónde el denominador es cero, porque esos valores NUNCA pueden ser parte de la solución.

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Inecuaciones Racionales Complejas

Para resolver $x + 1$ / $x - 1$ + 2 > 0, primero combinas en una sola fracción: $x + 1 + 2(x - 1)$ / $x - 1$ > 0, que simplifica a $3x - 1$ / $x - 1$ > 0.

Ahora tienes una fracción que debe ser positiva. Los puntos críticos son x = 1/3 (donde el numerador es cero) y x = 1 (donde el denominador es cero).

Usando la tabla de signos, determinas que la fracción es positiva cuando (-∞, 1/3) ∪ (1, +∞). Recuerda que x = 1 no puede incluirse porque hace el denominador cero.

Estrategia clave: Siempre convierte inecuaciones racionales complejas a una sola fracción antes de aplicar la tabla de signos.

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Inecuaciones Racionales Avanzadas

Para $x² - 2x + 3$ / $x + 1$ ≤ 1, primero mueves todo a un lado: $x² - 2x + 3$ / $x + 1$ - 1 ≤ 0. Esto se convierte en $x² - 3x + 2$ / $x + 1$ ≤ 0.

Factorizas el numerador: x² - 3x + 2 = $x - 1$ $x - 2$ . Ahora tienes $(x - 1)(x - 2)$ / $x + 1$ ≤ 0.

Detalle crucial: En inecuaciones con ≤ o ≥, incluyes los puntos que hacen el numerador cero, pero NUNCA los que hacen el denominador cero.

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