Dominio de funciones y funciones básicas

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. Cada tipo de función tiene sus reglas:

• Polinomios: su dominio es siempre ℝ (todos los números reales)
• Fracciones $P(x)/Q(x)$: el denominador no puede ser cero, así que excluimos los valores donde Q(x)=0
• Raíces: en √P(x), necesitamos que P(x)≥0
• Logaritmos: en log P(x), necesitamos que P(x)>0

Las funciones lineales $y=mx+n$ representan rectas donde m es la pendiente que se calcula como $y₂-y₁$/$x₂-x₁$. También podemos escribirlas como y=m$x-x₁$+y₁ cuando conocemos un punto.

💡 Consejo práctico: Para analizar el dominio, identifica primero qué tipo de función tienes y luego aplica las restricciones correspondientes. Dibuja una recta real para visualizar mejor el resultado.

Las funciones cuadráticas $y=ax²+bx+c$ tienen forma de parábola, con su vértice en x=-b/(2a). Este punto será un máximo si a<0 o un mínimo si a>0.

Límites y continuidad

Los límites nos permiten entender hacia qué valor tiende una función cuando x se acerca a un punto determinado. Hay diferentes tipos:

• Límites hacia infinito: cuando x→±∞
• Límites laterales: acercándonos por la derecha (x→c⁺) o por la izquierda (x→c⁻)

Una función es continua en un punto cuando existe el límite en ese punto y coincide con el valor de la función. Si miramos una gráfica, podríamos dibujarla sin levantar el lápiz del papel.

🔍 Recuerda: Los puntos representados con "o" (puntos blancos) en una gráfica indican que el límite no existe en ese punto, y por tanto hay una discontinuidad.

Para estudiar la continuidad debemos comprobar si los límites laterales coinciden. Si no coinciden o no existen, la función presenta una discontinuidad en ese punto.

Indeterminaciones

Las indeterminaciones son expresiones de límites que no podemos resolver directamente. Las más comunes son:

• ∞/∞: Divide todo entre la variable con el exponente más alto
• 0/0: Factoriza (usando factor común, identidades notables, etc.)
• ∞-∞: Racionaliza aunque no sea una fracción
• ∞^∞: Transforma en exponencial usando e^$lim(f(x)-1)·g(x)$

Para resolver indeterminaciones del tipo 0/0, es útil factorizar tanto numerador como denominador y simplificar factores comunes.

🔑 Estrategia clave: Cada tipo de indeterminación requiere una técnica específica. Identifica primero qué tipo tienes antes de aplicar el método correspondiente.

Para las indeterminaciones ∞-∞, transformar la expresión en una fracción mediante suma/resta de fracciones algebraicas puede ser muy útil. Busca el mínimo común múltiplo (mcm) para unificar denominadores.

Continuidad y tipos de discontinuidades

Una función g(x) es continua en un punto x₀ si cumple tres condiciones:

1. Existe el límite cuando x→x₀
2. Los límites laterales coinciden: lim₊ g(x) = lim₋ g(x)
3. El límite coincide con el valor de la función: lim g(x) = g(x₀)

Las discontinuidades pueden ser de tres tipos:

• Discontinuidad de salto infinito: cuando el límite es infinito
• Discontinuidad de salto finito: cuando los límites laterales no coinciden
• Discontinuidad evitable: cuando existe el límite pero no coincide con el valor de la función

📌 Visualización: Piensa en una discontinuidad evitable como un "agujero" en la gráfica que podría rellenarse; un salto finito como un "escalón"; y un salto infinito como una "asíntota vertical".

Las discontinuidades se pueden identificar fácilmente en las gráficas: los saltos infinitos aparecen como líneas verticales, los saltos finitos como cortes en la función, y las evitables como puntos aislados.

Estudio de discontinuidades

Para estudiar las discontinuidades de una función, sigue estos pasos:

1. Calcula el dominio de la función. Los puntos que no pertenecen al dominio son candidatos a ser discontinuidades.
2. Para cada punto crítico, calcula los límites laterales y el valor de la función (si existe).
3. Clasifica cada discontinuidad según su tipo: infinita, finita o evitable.

En funciones definidas a trozos, es especialmente importante:

1. Estudiar el dominio de cada trozo por separado.
2. Analizar la continuidad en los "puntos de corte" donde cambia la definición de la función.
3. Comprobar si los límites laterales coinciden en esos puntos.

🧩 Método práctico: Dibuja la gráfica aproximada de cada trozo para visualizar mejor dónde pueden ocurrir las discontinuidades.

El análisis completo debe concluir con una descripción clara de dónde la función es continua y dónde presenta discontinuidades, especificando el tipo de cada una.