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Explicación de Funciones por Trozos: Ejemplos y Aplicaciones

Milagro Cuisman@millyxxg

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Las funciones a trozos son herramientas matemáticas que definen diferentes...

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# función A Trozos

(x²+2x, 51 ㄨㄥ-1①

Ej F(x)=x. 51-1<x ≤1
①

C-1, Si x >0
2
3

1

X Y=x2+3x

-1
-1

Y=(-1)+2(-1)

X Y=X

-1-1

objob=af2.pr

Funciones a Trozos: Conceptos Básicos

Una función a trozos define diferentes expresiones matemáticas para distintos intervalos de la variable independiente. Por ejemplo, la función $f(x) = \begin{cases} x^2 + 3x, & \text{si } x \leq -1 \ x, & \text{si } -1 < x \leq 1 \ -1, & \text{si } x > 0 \end{cases}$ establece tres comportamientos diferentes según el valor de x.

Para evaluar estas funciones, primero identificamos en qué intervalo se encuentra el valor de x y luego aplicamos la expresión correspondiente. Por ejemplo, cuando x = -1, usamos la expresión $x^2 + 3x$ y obtenemos f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) = 1 - 3 = -2.

El dominio de una función a trozos es la unión de todos los intervalos donde está definida. En el ejemplo, D(f) = (-∞, +∞) = ℝ, mientras que el rango representa todos los posibles valores de y, en este caso R(f) = [-1, +∞).

💡 Consejo: Para graficar una función a trozos, evalúa cada trozo por separado y luego úne las partes, prestando especial atención a los puntos donde cambia la definición.

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Aplicaciones de las Funciones por Trozos

Las funciones a trozos son ideales para modelar situaciones de la vida real donde las condiciones varían según ciertos valores límite. Por ejemplo, en una cadena hotelera que cobra 75 dólares por noche durante las primeras dos noches y 50 dólares por cada noche adicional.

Esta situación se modela con la función $T(x) = \begin{cases} 75x, & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \ 50(x-2)+150, & \text{si } x > 2 \end{cases}$ donde x representa el número de noches y T(x) el costo total. Para las primeras dos noches, simplemente multiplicamos 75 por x, pero después aplicamos un descuento para las noches adicionales.

Evaluando la función, obtenemos T(2) = 75(2) = 150 dólares por dos noches. Para T(3) = 50(3-2) + 150 = 50 + 150 = 200 dólares y T(5) = 50(5-2) + 150 = 150 + 150 = 300 dólares. La segunda expresión se simplifica como 50x + 50 después de desarrollar 50 $x-2$ + 150.

🔑 Recuerda: Al modelar una situación real con funciones a trozos, primero identifica los puntos donde cambian las condiciones, luego establece las expresiones para cada intervalo.

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Modelando Situaciones Cotidianas

Las facturas de servicios públicos son excelentes ejemplos para aplicar funciones a trozos. En Bogotá, la factura del acueducto tiene un cargo fijo de 15,000 pesos por aseo, con tarifas diferentes para consumos hasta 20 metros cúbicos (consumo básico) y consumos mayores a 20 metros cúbicos (consumo no básico).

Para modelar esta situación, necesitamos definir una función que represente el costo total según el consumo. La función incluiría el cargo fijo de 15,000 pesos más el costo variable que depende del consumo, con diferentes tarifas antes y después de los 20 metros cúbicos.

Las funciones a trozos también pueden representar comportamientos constantes en ciertos intervalos, como se muestra en el ejemplo $F(x) = \begin{cases} 2, & \text{si } -3 \leq x \leq -1 \ 2, & \text{si } 1 \leq x \leq 3 \end{cases}$ donde la función vale 2 en los intervalos [-3, -1] y [1, 3].

⭐ Aplicación práctica: Las funciones a trozos aparecen constantemente en tu vida diaria: planes de telefonía, tarifas de electricidad y descuentos por volumen son solo algunos ejemplos. ¡Intenta identificarlas en tu próxima factura!

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