Instrucciones del Examen de Matrices

Las reglas del juego son claras: tienes que elegir una opción completa (A o B) y contestar los cuatro ejercicios. Nada de mezclar opciones, porque te calificarán solo una.

Tienes una hora para demostrar todo lo que sabes sobre matrices. Sin calculadoras gráficas, así que tus cálculos tienen que estar bien justificados paso a paso.

El examen vale 10 puntos repartidos entre cuatro ejercicios. Los ejercicios 2 y 3 valen más (3 puntos cada uno), así que dedícales tiempo extra.

Consejo clave: Lee bien todos los ejercicios antes de empezar para organizar tu tiempo según la dificultad.

Resolución de Ecuaciones Matriciales

Para resolver BXA - C = I, lo primero es comprobar que las matrices B y A tienen determinante distinto de cero. Si det(B) ≠ 0 y det(A) ≠ 0, entonces existen sus matrices inversas.

El truco está en despejar X paso a paso: primero BXA = I + C, luego BX = $I + C$A⁻¹, y finalmente X = B⁻¹$I + C$A⁻¹.

Para calcular las inversas, usa la fórmula: A⁻¹ = $1/det(A)$ × [adj(A)]ᵗ. La matriz adjunta se forma con los cofactores de cada elemento.

El resultado final es una multiplicación de tres matrices que tienes que hacer con cuidado. En este caso: X = (-3/11, 15/11; 21/22, -17/22).

Truco importante: Siempre verifica que los determinantes no sean cero antes de empezar a calcular inversas.

Existencia de Matriz Inversa y Cálculo del Rango

Una matriz tiene inversa solo cuando su determinante es diferente de cero. Para encontrar cuándo existe A⁻¹, calcula det(A) e iguálalo a cero para encontrar los valores prohibidos de k.

Usando el método de Ruffini en det(A) = (16/7)$k³ + 3k² - 4$, encuentras que det(A) = 0 cuando k = 1 o k = -2. Por tanto, A⁻¹ existe para todo k ∈ ℝ - {1, -2}.

Para calcular el rango de una matriz, busca el mayor menor no nulo. Empieza con menores de orden 2, luego 3, y así sucesivamente usando el método de orlado.

Cuando un parámetro aparece en la matriz, analiza por separado los casos donde el determinante se anula. En este ejemplo, el rango de B es siempre 3, independientemente del valor de a.

Método eficaz: Usa el orlado sistemáticamente - si encuentras un menor de orden n no nulo, el rango es al menos n.

Resolución de Determinantes con Incógnitas

Para resolver determinantes de orden 4, usa transformaciones de filas para simplificar antes de desarrollar. El truco está en hacer ceros estratégicamente.

Suma todas las filas a la primera fila: esto te da $x+4$ como factor común en la primera fila. Después resta la primera fila de las demás para crear ceros.

El determinante se convierte en $x+4$ multiplicado por un determinante de orden 3 más simple. Cuando todo está simplificado, obtienes x³$x+4$ = 0.

Las soluciones son x = 0 (con multiplicidad 3) y x = -4. Recuerda que la multiplicidad de las raíces es importante en algunos contextos.

Estrategia ganadora: Siempre busca factores comunes y patrones simétricos antes de desarrollar determinantes grandes.