Matemáticas

Soluciones y Sistemas de Ecuaciones

Sistema de Ecuaciones

Matemáticas3,256 views·Updated Jun 15, 2026·130 pages

Ejercicios Resueltos Selectividad Matemáticas Andalucía

Mayra Rivas García@mayraa.05

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Estos exámenes de Matemáticas II de Bachillerato para la EVAU...

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Examen Ordinario 2021-2022 - Bloque A

¿Te preocupa enfrentarte a funciones definidas a trozos? Tranquilo, son más manejables de lo que parecen. El primer ejercicio te pide calcular los parámetros a y b para que la función sea continua en todos los puntos, especialmente en x = -1 y x = 1.

Para los problemas de optimización como el del rectángulo inscrito, recuerda el truco: plantea el área en función de una sola variable usando las restricciones del problema. Después deriva e iguala a cero para encontrar el máximo.

Los cálculos de áreas con funciones a trozos requieren dividir la integral según los intervalos donde cambia la definición de la función. No olvides que el área siempre es positiva, así que usa valor absoluto cuando sea necesario.

Consejo clave: En las primitivas, siempre comprueba tu resultado derivando. Si no obtienes la función original, hay un error en el cálculo.

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Examen Ordinario 2021-2022 - Bloque B

Los sistemas de ecuaciones lineales con parámetros pueden parecer complicados, pero siguen un patrón claro. Calcula el determinante de la matriz de coeficientes y analiza cuándo es cero para determinar la compatibilidad del sistema.

Para saber si una matriz tiene inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Una vez que tengas este valor, resolver ecuaciones matriciales como AX = B se convierte en X = A⁻¹B.

Los problemas de vectores ortogonales son directos: dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es cero. Usa esta propiedad para calcular los parámetros desconocidos.

Truco útil: En geometría analítica, siempre dibuja un esquema. Te ayudará a visualizar el problema y evitar errores de cálculo.

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Examen Extraordinario 2021-2022 - Bloque A

Los límites con logaritmos en el infinito requieren identificar el término dominante. Cuando tienes (ln x)³ + 2x en el denominador, recuerda que x crece mucho más rápido que cualquier potencia del logaritmo.

El truco para optimizar rectángulos inscritos es siempre el mismo: expresa el área en función de una variable, deriva y busca los puntos críticos. No olvides comprobar que efectivamente es un máximo.

Las integrales con cambio de variable como la sugerida $t = √(1 + x - 1)$ simplifican enormemente el cálculo. Calcula dx en función de dt y sustituye todos los términos, incluidos los límites de integración.

Importante: Al calcular áreas entre curvas, determina primero cuál función está por encima en cada intervalo para evitar resultados negativos.

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Examen Extraordinario 2021-2022 - Bloque B

Para resolver ecuaciones matriciales como AXB = C, necesitas despejar X multiplicando por las inversas correspondientes: X = A⁻¹CB⁻¹. Primero comprueba que las matrices tienen inversa.

Los determinantes tienen propiedades muy útiles: si multiplicas una fila por un número, el determinante se multiplica por ese número. Si intercambias filas, el determinante cambia de signo.

En geometría del espacio, dos rectas se cortan cuando sus ecuaciones tienen una solución común. Iguala las coordenadas paramétricas y resuelve el sistema resultante.

Consejo práctico: Para encontrar puntos simétricos respecto a un plano, usa la recta perpendicular al plano que pasa por el punto dado.

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Examen de Curso 2021-2022 - Bloque A (Primera Parte)

Las funciones continuas con extremos relativos te dan información valiosa: en el extremo, la derivada es cero. Usa esta condición junto con la continuidad para determinar los parámetros desconocidos.

Los problemas de optimización económica combinan geometría y costes. Plantea la función de coste total y minimízala derivando. El resultado te dará las dimensiones óptimas.

Para integrar productos de exponenciales y trigonométricas como e^x sen(2x), necesitarás integración por partes repetida. Ten paciencia y mantén el orden en los cálculos.

Recuerda: Cuando calcules primitivas que pasen por un punto específico, usa esa condición para determinar la constante de integración.

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Examen de Curso 2021-2022 - Bloque A y B (Segunda Parte)

Las matrices inversas de orden 3x3 requieren más cálculo, pero el proceso es el mismo: determinante no nulo y aplicación de la fórmula con adjuntos. Organiza bien tus operaciones para evitar errores.

Los problemas de aplicación con porcentajes como el del ciclo del sueño se resuelven planteando un sistema de ecuaciones. Define bien las variables y traduce cada condición del enunciado.

En geometría analítica, distingue entre rectas que se cortan, son paralelas o se cruzan. Para rectas en el espacio, dos rectas pueden no cortarse sin ser paralelas.

Tip fundamental: Los planos perpendiculares tienen vectores normales perpendiculares, mientras que los paralelos tienen vectores normales proporcionales.

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Examen de Curso 2021-2022 - Continuación Bloque A

La continuidad en funciones con raíces cuadradas requiere especial cuidado en los extremos del dominio. Asegúrate de que las expresiones bajo la raíz sean positivas y las funciones coincidan en los puntos de cambio.

El estudio de funciones logarítmicas como ln $x² + 1$ es más sencillo de lo que parece. Esta función está definida para todo x real, y su derivada te dará los intervalos de crecimiento.

Las funciones definidas por integrales tienen una propiedad genial: su derivada es el integrando evaluado en el límite superior. Esto simplifica enormemente el estudio de F(x) = ∫₀ˣ f(t)dt.

Clave del éxito: Para integrar arctg(x), siempre usa integración por partes con u = arctg(x) y dv = x dx.

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Examen de Curso 2021-2022 - Bloque B Final

Los sistemas con parámetros requieren análisis del rango de la matriz ampliada versus la matriz de coeficientes. Usa el teorema de Rouché-Frobenius para determinar la compatibilidad según los valores del parámetro.

Para que A⁻¹ = ¼A, la matriz A debe satisfacer 4A⁻¹ = A, lo que equivale a 4I = A². Esta condición te permitirá encontrar los valores de a que cumplen la ecuación.

La distancia entre recta y plano depende de si son paralelos o se cortan. Si la recta es paralela al plano, calcula la distancia de cualquier punto de la recta al plano.

Estrategia winning: Para encontrar puntos que equidistan de dos planos, iguala las expresiones de distancia punto-plano en valor absoluto.

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Examen Final de Curso 2021-2022 - Bloque A

Los límites indeterminados con sen(x) y ln $x+1$ se resuelven usando desarrollos de Taylor o L'Hôpital. Recuerda que sen(x) ≈ x y ln $1+x$ ≈ x para x próximo a cero.

Para encontrar extremos absolutos en intervalos cerrados como [0, 2π], evalúa la función en los puntos críticos del interior y en los extremos del intervalo. El mayor y menor valor serán los extremos absolutos.

El cálculo de áreas entre una función y su recta normal requiere encontrar primero la ecuación de la normal, después los puntos de corte, y finalmente integrar la diferencia.

Método eficaz: En integrales con cambios de variable como t = √ $1+x$ , no olvides cambiar también los límites de integración para evitar volver a la variable original.

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Examen Final de Curso 2021-2022 - Bloque B

Los problemas de redes sociales son sistemas de ecuaciones disfrazados. Define variables claras (seguidores de Alberto, Begoña y Carlos) y traduce cada condición del enunciado a una ecuación matemática.

El rango de una matriz cambia según los valores del parámetro. Calcula el determinante y sus menores para determinar cuándo el rango es máximo y cuándo disminuye.

Para calcular áreas de triángulos con vectores, usa la fórmula |u⃗ × v⃗|/2, donde u⃗ y v⃗ son dos lados del triángulo expresados como vectores.

Técnica esencial: El punto simétrico de P respecto al plano π se encuentra en la recta perpendicular al plano que pasa por P, a la misma distancia pero al otro lado del plano.

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Ejercicios Resueltos Selectividad Matemáticas Andalucía

Mayra Rivas García@mayraa.05

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Estos exámenes de Matemáticas II de Bachillerato para la EVAU son tu oportunidad de demostrar todo lo que sabes. Vas a encontrar problemas de análisis, álgebra y geometría que cubren los temas más importantes del curso.

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Examen Ordinario 2021-2022 - Bloque A

Consejo clave: En las primitivas, siempre comprueba tu resultado derivando. Si no obtienes la función original, hay un error en el cálculo.

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Examen Ordinario 2021-2022 - Bloque B

Para saber si una matriz tiene inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Una vez que tengas este valor, resolver ecuaciones matriciales como AX = B se convierte en X = A⁻¹B.

Los problemas de vectores ortogonales son directos: dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es cero. Usa esta propiedad para calcular los parámetros desconocidos.

Truco útil: En geometría analítica, siempre dibuja un esquema. Te ayudará a visualizar el problema y evitar errores de cálculo.

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Examen Extraordinario 2021-2022 - Bloque A

Importante: Al calcular áreas entre curvas, determina primero cuál función está por encima en cada intervalo para evitar resultados negativos.

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Examen Extraordinario 2021-2022 - Bloque B

Para resolver ecuaciones matriciales como AXB = C, necesitas despejar X multiplicando por las inversas correspondientes: X = A⁻¹CB⁻¹. Primero comprueba que las matrices tienen inversa.

Los determinantes tienen propiedades muy útiles: si multiplicas una fila por un número, el determinante se multiplica por ese número. Si intercambias filas, el determinante cambia de signo.

En geometría del espacio, dos rectas se cortan cuando sus ecuaciones tienen una solución común. Iguala las coordenadas paramétricas y resuelve el sistema resultante.

Consejo práctico: Para encontrar puntos simétricos respecto a un plano, usa la recta perpendicular al plano que pasa por el punto dado.

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Examen de Curso 2021-2022 - Bloque A (Primera Parte)

Los problemas de optimización económica combinan geometría y costes. Plantea la función de coste total y minimízala derivando. El resultado te dará las dimensiones óptimas.

Para integrar productos de exponenciales y trigonométricas como e^x sen(2x), necesitarás integración por partes repetida. Ten paciencia y mantén el orden en los cálculos.

Recuerda: Cuando calcules primitivas que pasen por un punto específico, usa esa condición para determinar la constante de integración.

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Examen de Curso 2021-2022 - Bloque A y B (Segunda Parte)

Los problemas de aplicación con porcentajes como el del ciclo del sueño se resuelven planteando un sistema de ecuaciones. Define bien las variables y traduce cada condición del enunciado.

En geometría analítica, distingue entre rectas que se cortan, son paralelas o se cruzan. Para rectas en el espacio, dos rectas pueden no cortarse sin ser paralelas.

Tip fundamental: Los planos perpendiculares tienen vectores normales perpendiculares, mientras que los paralelos tienen vectores normales proporcionales.

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Examen de Curso 2021-2022 - Continuación Bloque A

El estudio de funciones logarítmicas como ln $x² + 1$ es más sencillo de lo que parece. Esta función está definida para todo x real, y su derivada te dará los intervalos de crecimiento.

Las funciones definidas por integrales tienen una propiedad genial: su derivada es el integrando evaluado en el límite superior. Esto simplifica enormemente el estudio de F(x) = ∫₀ˣ f(t)dt.

Clave del éxito: Para integrar arctg(x), siempre usa integración por partes con u = arctg(x) y dv = x dx.

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Examen de Curso 2021-2022 - Bloque B Final

Para que A⁻¹ = ¼A, la matriz A debe satisfacer 4A⁻¹ = A, lo que equivale a 4I = A². Esta condición te permitirá encontrar los valores de a que cumplen la ecuación.

La distancia entre recta y plano depende de si son paralelos o se cortan. Si la recta es paralela al plano, calcula la distancia de cualquier punto de la recta al plano.

Estrategia winning: Para encontrar puntos que equidistan de dos planos, iguala las expresiones de distancia punto-plano en valor absoluto.

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Examen Final de Curso 2021-2022 - Bloque A

Los límites indeterminados con sen(x) y ln $x+1$ se resuelven usando desarrollos de Taylor o L'Hôpital. Recuerda que sen(x) ≈ x y ln $1+x$ ≈ x para x próximo a cero.

El cálculo de áreas entre una función y su recta normal requiere encontrar primero la ecuación de la normal, después los puntos de corte, y finalmente integrar la diferencia.

Método eficaz: En integrales con cambios de variable como t = √ $1+x$ , no olvides cambiar también los límites de integración para evitar volver a la variable original.

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Examen Final de Curso 2021-2022 - Bloque B

El rango de una matriz cambia según los valores del parámetro. Calcula el determinante y sus menores para determinar cuándo el rango es máximo y cuándo disminuye.

Para calcular áreas de triángulos con vectores, usa la fórmula |u⃗ × v⃗|/2, donde u⃗ y v⃗ son dos lados del triángulo expresados como vectores.

Técnica esencial: El punto simétrico de P respecto al plano π se encuentra en la recta perpendicular al plano que pasa por P, a la misma distancia pero al otro lado del plano.