Matematyka

Rozwiązania i Układy Równań

Matematyka1,446 views·Updated Jun 15, 2026·2 pages

Wyrażenia i rozwiązywanie nierówności wymiernych

Amelia Zięba@amelkacx

Nierówności wymierne mogą wydawać się trudne, ale z odpowiednim podejściem...

of 2

$# nierówności wymierne Przyutad.1 → a) $\frac{5-x}{6+x}>0/(6+x)^2$ galy nie wiemy azy micinownie jest dodatni czy ujemny, mnożymy obustro$

Proste nierówności wymierne

Nierówności wymierne to takie, w których występują ułamki zawierające zmienne. Przy ich rozwiązywaniu kluczowe jest ustalenie dziedziny nierówności - czyli wartości, dla których mianownik nie jest równy zero.

Rozwiązując nierówność typu $\frac{5-x}{6+x} > 0$ , najpierw mnożymy obie strony przez kwadrat mianownika $(6+x)^2$ , co zachowuje znak nierówności. Następnie otrzymujemy $(5-x)(6+x)>0$ , czyli iloczyn dwóch nawiasów musi być dodatni.

Aby rozwiązać taką nierówność, znajdujemy miejsca zerowe: $5-x=0 $daje$ x=5 $oraz$ 6+x=0 $daje$ x=-6 $. Te punkty dzielą oś liczbową na przedziały. Sprawdzając znak w każdym przedziale, otrzymujemy odpowiedź:$ x \in (-6,5)$.

💡 Pamiętaj! Zawsze sprawdź dziedzinę nierówności wymiernej. Punkty, w których mianownik się zeruje, nie należą do rozwiązania.

Podobnie rozwiązujemy nierówność $\frac{4}{9-x^2} > 0$ . Dziedzina to $\mathbb{R}\setminus{-3,3}$ . Po przekształceniu otrzymujemy $4 $3-x$ $3+x$ >0 $. Miejsca zerowe to$ x=-3 $i$ x=3 $, a rozwiązaniem jest przedział$ x \in (-3,3)$.

of 2

$# nierówności wymierne Przyutad.1 → a) $\frac{5-x}{6+x}>0/(6+x)^2$ galy nie wiemy azy micinownie jest dodatni czy ujemny, mnożymy obustro$

Złożone nierówności wymierne

Przy bardziej skomplikowanych nierównościach, takich jak $\frac{3x}{x-2} \leq \frac{2x-3}{5x+1}$ , zaczynamy od ustalenia dziedziny, która wynosi $\mathbb{R}\setminus{-\frac{1}{5}, 2}$ .

Przekształcamy nierówność do postaci $\frac{3x}{x-2} - \frac{2x-3}{5x+1} \leq 0$ . Aby odjąć ułamki, sprowadzamy je do wspólnego mianownika: $\frac{3x \cdot (5x+1) - (2x-3)(x-2)}{(x-2)(5x+1)} \leq 0$ . Po rozmnożeniu nawiasów w liczniku i uproszczeniu otrzymujemy $\frac{13x^2 + 10x - 6}{(x-2)(5x+1)} \leq 0$ .

Znak ułamka zależy od znaku licznika i mianownika. Wyznaczamy miejsca zerowe licznika rozwiązując równanie kwadratowe $13x^2 + 10x - 6 = 0 $. Obliczając deltę$ \Delta = 100 - 4 \cdot 13 \cdot (-6) = 412 $, znajdujemy miejsca zerowe:$ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{103}}{13} $i$ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{103}}{13}$.

🔍 Przy rozwiązywaniu złożonych nierówności wymiernych, zwróć uwagę na każdy etap - szczególnie na znaki przy przekształceniach!

Po przeanalizowaniu znaków w odpowiednich przedziałach, otrzymujemy rozwiązanie: $x \in \left(\frac{-5 - \sqrt{103}}{13}, -\frac{1}{5}\right) \cup \left(\frac{-5 + \sqrt{103}}{13}, 2\right)$ .

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Most popular content: Rozwiązanie nierówności

Matematyka

Rozwiązywanie Nierówności

Praktyczne zadania maturalne dotyczące rozwiązywania nierówności oraz kluczowe właściwości wartości bezwzględnej. Zawiera przykłady, które pomagają zrozumieć, jak interpretować i rozwiązywać nierówności na osi liczbowej. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury.

41,62411

Matematyka

Równania z parametrem: Rozwiązania

Zgłębiaj metody rozwiązywania równań i nierówności z parametrem. Dowiedz się, jak określić wartości parametrów, dla których równania mają różne rodzaje rozwiązań, w tym dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz warunki dotyczące dodatnich rozwiązań. Idealne dla uczniów na poziomie rozszerzonym.

289420

Matematyka

Równania i Nierówności Bezwzględne

Zrozumienie równań i nierówności z wartością bezwzględną. Ta notatka obejmuje metody rozwiązywania równań, analizę przypadków oraz zastosowanie wartości bezwzględnej w kontekście nierówności. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

21,26319

Matematyka

Zbiory i Nierówności

Praktyczne zadania dotyczące zbiorów, wartości bezwzględnej oraz rozwiązywania nierówności. Obejmuje zagadnienia takie jak: operacje na zbiorach, wyznaczanie przedziałów, oraz zastosowanie wartości bezwzględnej w kontekście nierówności. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

45459

Matematyka

Matura Matematyka 2020

Kompletny arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym z 2020 roku. Zawiera zadania dotyczące wzorów matematycznych, geometrii, równań, nierówności oraz funkcji. Idealne materiały do nauki i przygotowania do egzaminu.

41,56064

Matematyka

Równania i Nierówności Bezwzględne

Zrozumienie równań i nierówności z wartością bezwzględną. Przykłady rozwiązań, zastosowanie odległości na osi liczbowej oraz algebraiczne metody rozwiązywania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

25,365100

Most popular content in Matematyka

Matematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,8850

Matematyka

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.

53,3600

Matematyka

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

860,2325,678

Matematyka

tabliczka mnożenia do 100

53,6712

Matematyka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.

63,6440

Matematyka

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

855,3555,840

Matematyka

Obliczanie pola wielokątów

Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.

64,3520

Matematyka

Podstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych

Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.

73,6220

Matematyka

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Zrozumienie graniastosłupów i ostrosłupów: definicje, właściwości, wzory na objętość i pole powierzchni. Dowiedz się, jak obliczać objętość i pole różnych typów wielościanów, w tym graniastosłupów prostych i ostrosłupów prawdziwych. Idealne dla uczniów klasy 8.

843,6661,376

Most popular content

Język polski

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

1181,2417,271

Język polski

Analiza Lalki Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca kompozycję, problematykę, głównych bohaterów oraz kontekst społeczny Warszawy lat 70. i 80. XIX wieku. Zawiera omówienie miłości Wokulskiego do Izabeli Łęckiej, różnorodności narracji oraz otwartości zakończenia. Idealna dla studentów literatury i miłośników polskiej prozy.

4133,9114,302

Język polski

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

4130,4526,097

Język polski

Wprowadzenie do lektury Zemsta

Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.

85,9710

Język polski

Makbet: Analiza Tragedii Szekspira

Odkryj kluczowe cechy dramatu 'Makbet' Williama Szekspira, w tym złamanie zasady decorum, psychologię postaci oraz tematykę zbrodni i ambicji. Zrozum, jak Szekspir przekształca klasyczną tragedię, wprowadzając elementy fantastyki i psychologii. Idealne dla uczniów i studentów literatury. Typ: analiza literacka.

4104,1894,738

Biologia

biologia- ryby klasa 6

Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️

64,8014

Język polski

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

1183,6957,869

Biologia

Korzeń- organ podziemny rośliny

prawie wszystko w temacie "korzeń- organ podziemny rośliny "

54,3982

Technika

Karta rowerowa

UwU

45,4003

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user

Matematyka

Rozwiązania i Układy Równań

Matematyka1,446 views·Updated Jun 15, 2026·2 pages

Wyrażenia i rozwiązywanie nierówności wymiernych

Amelia Zięba@amelkacx

Add to Google sources

Nierówności wymierne mogą wydawać się trudne, ale z odpowiednim podejściem staną się prostsze. W tych notatkach nauczysz się rozwiązywać różne typy nierówności wymiernych oraz zrozumiesz kluczowe kroki potrzebne do znalezienia prawidłowych odpowiedzi.

of 2

$# nierówności wymierne Przyutad.1 → a) $\frac{5-x}{6+x}>0/(6+x)^2$ galy nie wiemy azy micinownie jest dodatni czy ujemny, mnożymy obustro$

Proste nierówności wymierne

💡 Pamiętaj! Zawsze sprawdź dziedzinę nierówności wymiernej. Punkty, w których mianownik się zeruje, nie należą do rozwiązania.

of 2

$# nierówności wymierne Przyutad.1 → a) $\frac{5-x}{6+x}>0/(6+x)^2$ galy nie wiemy azy micinownie jest dodatni czy ujemny, mnożymy obustro$

Złożone nierówności wymierne

Przy bardziej skomplikowanych nierównościach, takich jak $\frac{3x}{x-2} \leq \frac{2x-3}{5x+1}$ , zaczynamy od ustalenia dziedziny, która wynosi $\mathbb{R}\setminus{-\frac{1}{5}, 2}$ .

🔍 Przy rozwiązywaniu złożonych nierówności wymiernych, zwróć uwagę na każdy etap - szczególnie na znaki przy przekształceniach!

Po przeanalizowaniu znaków w odpowiednich przedziałach, otrzymujemy rozwiązanie: $x \in \left(\frac{-5 - \sqrt{103}}{13}, -\frac{1}{5}\right) \cup \left(\frac{-5 + \sqrt{103}}{13}, 2\right)$ .