Matematyka

Funkcje i tożsamości trygonometryczne

Tożsamości Pitagorejskie

Matematyka284 views·Updated Jun 20, 2026·2 pages

Najważniejsze wzory matematyczne do egzaminu ósmoklasisty

Magdalena Prokop@magdalenaprokop_kgqw

Add to Google sources

Matematyka to królowa nauk, a znajomość podstawowych wzorów matematycznych to...

of 2

$## Wszystkie wzory 1 **Pola (najważniejsze)** - pole trójkąta $\frac{a h}{2}$ - pole trapezu $\frac{(a+b)h}{2}$ - pole równoległoboku $a$

Najważniejsze wzory matematyczne - część I

Zacznijmy od podstawowych wzorów na pola figur płaskich, które musisz znać! Pole trójkąta obliczysz mnożąc długość podstawy przez wysokość i dzieląc przez 2: $\frac{a \cdot h}{2}$ . Dla trapezu wzór jest podobny: $\frac{(a+b)h}{2}$ , gdzie a i b to długości podstaw.

Pole równoległoboku to po prostu iloczyn długości boku i wysokości: $a \cdot h$ , a pole rombu możesz obliczyć znając długości przekątnych: $\frac{e \cdot f}{2}$ . Najprostsze figury mają najprostsze wzory: pole kwadratu to $a^2$ , a prostokąta $a \cdot b$ .

Przyda Ci się też kilka specjalnych wzorów. Przekątna kwadratu to $a\sqrt{2}$ , a wysokość trójkąta równobocznego o boku a wynosi $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Pole takiego trójkąta to $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .

💡 Wskazówka: Wzór na współrzędne środka odcinka AB to $S = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})$ - zapamiętaj, że po prostu liczysz średnią współrzędnych końców odcinka!

W geometrii przestrzennej kluczowe są wzory: objętość graniastosłupa $P_p \cdot H$ (pole podstawy razy wysokość), pole powierzchni graniastosłupa $2P_p + P_b$ (dwa razy pole podstawy plus pole boczne), objętość sześcianu $a^3$ i jego pole powierzchni $6a^2$.

of 2

$## Wszystkie wzory 1 **Pola (najważniejsze)** - pole trójkąta $\frac{a h}{2}$ - pole trapezu $\frac{(a+b)h}{2}$ - pole równoległoboku $a$

Najważniejsze wzory matematyczne - część II

Kontynuujmy naszą przygodę z bryłami! Pole powierzchni ostrosłupa obliczysz dodając pole podstawy i pole boczne: $P_{bCa} = P_p + P_b$ . Jego objętość to $\frac{1}{3}P_p \cdot H$ - zauważ, że jest trzy razy mniejsza niż objętość graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.

Z kolei w świecie kół i okręgów obwód okręgu to $l = 2\pi r$ lub $l = \pi d$ , a pole koła wynosi $P = \pi r^2$ . Te wzory będziesz używać bardzo często!

Potęgi mają swoje zasady, które ułatwiają obliczenia. Najważniejsze z nich to: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (przy mnożeniu potęgujemy tę samą podstawę dodając wykładniki) oraz $(a^m)^n = a^{mn}$ (potęgę podnosimy do potęgi mnożąc wykładniki).

💡 Zapamiętaj: Twierdzenie Pitagorasa $a^2 + b^2 = c^2$ to jeden z najważniejszych wzorów w geometrii - pozwala obliczać długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym!

Przy działaniach na pierwiastkach pamiętaj o najważniejszych własnościach: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ oraz $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ dla b≠0. Podobne zasady działają też dla pierwiastków sześciennych. Te wzory pozwolą Ci uprościć wiele skomplikowanych wyrażeń!

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Most popular content: Tożsamości Pitagorejskie

Matematyka

Podstawy Trygonometrii

Zrozumienie funkcji trygonometrycznych, twierdzenia Pitagorasa oraz podstawowych tożsamości trygonometrycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje kąty ostre i wypukłe oraz ich wartości.

26,466101

Matematyka

Wzory i Twierdzenia w Planimetrii

Zbiór kluczowych wzorów i twierdzeń z planimetrii, w tym twierdzenie Pitagorasa, wzory skróconego mnożenia oraz zasady dotyczące podobieństwa wielokątów. Idealne materiały do nauki dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

48668

Matematyka

Funkcje Trygonometryczne: Równania

Odkryj kluczowe równania i tożsamości trygonometryczne dla kątów ostrych. Zrozum, jak sin, cos i tg są ze sobą powiązane oraz jak stosować te zależności w praktycznych przykładach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

11,67731

Most popular content in Matematyka

Matematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,8860

Matematyka

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.

53,3600

Matematyka

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

860,2345,678

Matematyka

tabliczka mnożenia do 100

53,6712

Matematyka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.

63,6440

Matematyka

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

855,3555,840

Matematyka

Obliczanie pola wielokątów

Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.

64,3520

Matematyka

Podstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych

Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.

73,6220

Matematyka

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Zrozumienie graniastosłupów i ostrosłupów: definicje, właściwości, wzory na objętość i pole powierzchni. Dowiedz się, jak obliczać objętość i pole różnych typów wielościanów, w tym graniastosłupów prostych i ostrosłupów prawdziwych. Idealne dla uczniów klasy 8.

843,6661,376

Most popular content

Język polski

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

1181,2427,271

Język polski

Analiza Lalki Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca kompozycję, problematykę, głównych bohaterów oraz kontekst społeczny Warszawy lat 70. i 80. XIX wieku. Zawiera omówienie miłości Wokulskiego do Izabeli Łęckiej, różnorodności narracji oraz otwartości zakończenia. Idealna dla studentów literatury i miłośników polskiej prozy.

4133,9114,302

Język polski

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

4130,4526,097

Język polski

Wprowadzenie do lektury Zemsta

Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.

85,9710

Język polski

Makbet: Analiza Tragedii Szekspira

Odkryj kluczowe cechy dramatu 'Makbet' Williama Szekspira, w tym złamanie zasady decorum, psychologię postaci oraz tematykę zbrodni i ambicji. Zrozum, jak Szekspir przekształca klasyczną tragedię, wprowadzając elementy fantastyki i psychologii. Idealne dla uczniów i studentów literatury. Typ: analiza literacka.

4104,1894,738

Biologia

biologia- ryby klasa 6

Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️

64,8014

Język polski

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

1183,6957,869

Biologia

Korzeń- organ podziemny rośliny

prawie wszystko w temacie "korzeń- organ podziemny rośliny "

54,3982

Technika

Karta rowerowa

UwU

45,4003

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user

Matematyka

Funkcje i tożsamości trygonometryczne

Tożsamości Pitagorejskie

Matematyka284 views·Updated Jun 20, 2026·2 pages

Najważniejsze wzory matematyczne do egzaminu ósmoklasisty

Magdalena Prokop@magdalenaprokop_kgqw

Add to Google sources

Matematyka to królowa nauk, a znajomość podstawowych wzorów matematycznych to Twój klucz do sukcesu! Poniżej znajdziesz najważniejsze wzory i zależności, które pomogą Ci rozwiązać zadania z geometrii płaskiej i przestrzennej oraz działania na potęgach i pierwiastkach.

of 2

$## Wszystkie wzory 1 **Pola (najważniejsze)** - pole trójkąta $\frac{a h}{2}$ - pole trapezu $\frac{(a+b)h}{2}$ - pole równoległoboku $a$

Najważniejsze wzory matematyczne - część I

💡 Wskazówka: Wzór na współrzędne środka odcinka AB to $S = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})$ - zapamiętaj, że po prostu liczysz średnią współrzędnych końców odcinka!

of 2

$## Wszystkie wzory 1 **Pola (najważniejsze)** - pole trójkąta $\frac{a h}{2}$ - pole trapezu $\frac{(a+b)h}{2}$ - pole równoległoboku $a$

Najważniejsze wzory matematyczne - część II

Z kolei w świecie kół i okręgów obwód okręgu to $l = 2\pi r$ lub $l = \pi d$ , a pole koła wynosi $P = \pi r^2$ . Te wzory będziesz używać bardzo często!

💡 Zapamiętaj: Twierdzenie Pitagorasa $a^2 + b^2 = c^2$ to jeden z najważniejszych wzorów w geometrii - pozwala obliczać długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym!