Matematyka

Stałe i Warunki Całkowania

Stała całkowania (C)

Matematyka911 views·Updated Jun 28, 2026·6 pages

Całki - Praktyczna Lista Wzorów

Emilka@emka3939

Add to Google sources

Czas na całki i równania różniczkowe! Te matematyczne narzędzia to...

1 / 6

of 6

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Wzory na pochodne, potęgi i logarytmy

Zanim przejdziesz do całek, musisz opanować pochodne - to fundament wszystkiego! Pamiętaj, że pochodna stałej to zawsze 0, a pochodna x^n to nx^ $n-1$ .

Wzory na potęgi to twoje codzienne narzędzia. Gdy mnożysz potęgi o tej samej podstawie - dodajesz wykładniki $a^n · a^m = a^(n+m)$ . Gdy dzielisz - odejmujesz wykładniki. Potęga ujemna to po prostu 1 podzielone przez potęgę dodatnią.

Z logarytmami jest podobnie - log sumy to suma logarytmów, a logarytm iloczynu to różnica logarytmów. To wszystko będzie ci potrzebne przy całkowaniu!

💡 Wskazówka: Te wzory to jak alfabet w matematyce - musisz je znać na pamięć, żeby swobodnie rozwiązywać zadania!

of 6

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Podstawowe wzory całkowania

Całkowanie to odwrotność różniczkowania - jeśli F'(x) = f(x), to ∫f(x)dx = F(x) + c. Stała całkowania "c" pojawia się zawsze przy całkach nieoznaczonych!

Najważniejsze wzory: ∫x^n dx = x^ $n+1$ / $n+1$ + c, ∫1/x dx = ln|x| + c, oraz ∫e^x dx = e^x + c. Gdy masz stałą przed funkcją, wynosisz ją przed całkę.

Całkowanie przez podstawienie używasz, gdy funkcja jest zbyt skomplikowana. Podstawiasz t = jakieś wyrażenie, liczysz dt, podstawiasz i całkujesz. Na końcu wracasz do zmiennej x.

💡 Wskazówka: Jeśli widzisz funkcję złożoną $jak √(2x+1)$ , od razu myśl o podstawieniu!

of 6

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Całkowanie przez części i całki oznaczone

Całkowanie przez części to twój as w rękawie przy iloczynach funkcji! Wzór: ∫f(x)·g'(x)dx = f(x)·g(x) - ∫f'(x)·g(x)dx. Najczęściej używasz go z logarytmami i funkcjami wykładniczymi.

Całki oznaczone mają granice całkowania i dają konkretną liczbę. Wzór: ∫[a→b]f(x)dx = [F(x)][a→b] = F(b) - F(a). Nie ma tutaj stałej całkowania!

Praktyczne zastosowania to obliczanie pól powierzchni pod wykresami. Gdy funkcja jest pod osią x, pole będzie ujemne - wtedy bierzesz wartość bezwzględną.

💡 Wskazówka: W całkach oznaczonych zawsze podstawiaj najpierw górną granicę, potem odejmujesz wartość dla dolnej granicy!

of 6

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Obliczanie pól między wykresami

Gdy chcesz obliczyć pole między dwoma wykresami, najpierw znajdź punkty przecięcia funkcji. Następnie całkujesz różnicę funkcji: P = ∫[a→b] $g(x) - f(x)$ dx, gdzie g(x) jest funkcją "górną".

W przykładzie z parabolą y = x² - 1 między x = -1 i x = 1, pole wynosi 4/3. Pamiętaj, że gdy parabola jest pod osią x, musisz odejmować od 0!

Punkty przecięcia znajdziesz przyrównując funkcje i rozwiązując równanie. Używasz delty i wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

💡 Wskazówka: Zawsze rysuj sobie szkic wykresów - od razu zobaczysz, która funkcja jest "na górze"!

of 6

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Równania różniczkowe - krok po kroku

Równania różniczkowe to równania z pochodnymi, ale nie panikuj - mają swój schemat rozwiązywania! Kluczem jest rozdzielenie zmiennych i przepisanie y' jako dy/dx.

Algorytm: 1) Rozdziel zmienne, 2) Przepisz y' = dy/dx, 3) Przerzuć dx na drugą stronę, 4) Całkuj obie strony, 5) Przekształć do postaci y = ..., 6) Podstaw warunek brzegowy, 7) Oblicz stałą c, 8) Zapisz ostateczną odpowiedź.

W przykładzie x + yy' = 0 z warunkiem y(2) = 2 otrzymujemy y = √ $-x² + 8$ . Warunek brzegowy pozwala wyznaczyć stałą całkowania.

💡 Wskazówka: W równaniach różniczkowych zawsze sprawdź swoją odpowiedź - podstaw z powrotem do równania i zobacz czy się zgadza!

of 6

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Trudniejsze równania różniczkowe

Gdy masz równanie typu y' = ay², musisz pamiętać, że 1/y² w całce daje -1/y. Te równania wymagają więcej ostrożności przy podstawieniach.

W przykładzie y' = 2y + 1 z y(0) = 1 używamy podstawienia t = 2y + 1. Po całkowaniu otrzymujemy funkcję wykładniczą - to typowy rezultat dla tego typu równań.

Sprawdzanie odpowiedzi to zawsze dobry pomysł. Policz pochodną swojego wyniku i zobacz, czy spełnia pierwotne równanie różniczkowe.

💡 Wskazówka: Przy skomplikowanych równaniach rób podstawienia - zamień trudne wyrażenie na prostą zmienną t!

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Most popular content in Matematyka

Matematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,8850

Matematyka

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.

53,3600

Matematyka

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

860,2325,678

Matematyka

tabliczka mnożenia do 100

53,6712

Matematyka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.

63,6440

Matematyka

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

855,3555,840

Matematyka

Obliczanie pola wielokątów

Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.

64,3520

Matematyka

Podstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych

Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.

73,6220

Matematyka

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Zrozumienie graniastosłupów i ostrosłupów: definicje, właściwości, wzory na objętość i pole powierzchni. Dowiedz się, jak obliczać objętość i pole różnych typów wielościanów, w tym graniastosłupów prostych i ostrosłupów prawdziwych. Idealne dla uczniów klasy 8.

843,6661,376

Most popular content

Język polski

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

1181,2427,271

Język polski

Analiza Lalki Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca kompozycję, problematykę, głównych bohaterów oraz kontekst społeczny Warszawy lat 70. i 80. XIX wieku. Zawiera omówienie miłości Wokulskiego do Izabeli Łęckiej, różnorodności narracji oraz otwartości zakończenia. Idealna dla studentów literatury i miłośników polskiej prozy.

4133,9114,302

Język polski

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

4130,4526,097

Język polski

Wprowadzenie do lektury Zemsta

Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.

85,9710

Język polski

Makbet: Analiza Tragedii Szekspira

Odkryj kluczowe cechy dramatu 'Makbet' Williama Szekspira, w tym złamanie zasady decorum, psychologię postaci oraz tematykę zbrodni i ambicji. Zrozum, jak Szekspir przekształca klasyczną tragedię, wprowadzając elementy fantastyki i psychologii. Idealne dla uczniów i studentów literatury. Typ: analiza literacka.

4104,1894,738

Biologia

biologia- ryby klasa 6

Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️

64,8014

Język polski

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

1183,6957,869

Biologia

Korzeń- organ podziemny rośliny

prawie wszystko w temacie "korzeń- organ podziemny rośliny "

54,3982

Technika

Karta rowerowa

UwU

45,4003

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user

Matematyka

Stałe i Warunki Całkowania

Stała całkowania (C)

Matematyka911 views·Updated Jun 28, 2026·6 pages

Całki - Praktyczna Lista Wzorów

Emilka@emka3939

Add to Google sources

Czas na całki i równania różniczkowe! Te matematyczne narzędzia to podstawa analizy matematycznej, która przyda ci się nie tylko na maturze, ale też w studiach technicznych.

of 6

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Wzory na pochodne, potęgi i logarytmy

Zanim przejdziesz do całek, musisz opanować pochodne - to fundament wszystkiego! Pamiętaj, że pochodna stałej to zawsze 0, a pochodna x^n to nx^ $n-1$ .

Z logarytmami jest podobnie - log sumy to suma logarytmów, a logarytm iloczynu to różnica logarytmów. To wszystko będzie ci potrzebne przy całkowaniu!

💡 Wskazówka: Te wzory to jak alfabet w matematyce - musisz je znać na pamięć, żeby swobodnie rozwiązywać zadania!

of 6

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Podstawowe wzory całkowania

Całkowanie to odwrotność różniczkowania - jeśli F'(x) = f(x), to ∫f(x)dx = F(x) + c. Stała całkowania "c" pojawia się zawsze przy całkach nieoznaczonych!

Najważniejsze wzory: ∫x^n dx = x^ $n+1$ / $n+1$ + c, ∫1/x dx = ln|x| + c, oraz ∫e^x dx = e^x + c. Gdy masz stałą przed funkcją, wynosisz ją przed całkę.

Całkowanie przez podstawienie używasz, gdy funkcja jest zbyt skomplikowana. Podstawiasz t = jakieś wyrażenie, liczysz dt, podstawiasz i całkujesz. Na końcu wracasz do zmiennej x.

💡 Wskazówka: Jeśli widzisz funkcję złożoną $jak √(2x+1)$ , od razu myśl o podstawieniu!

of 6

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Całkowanie przez części i całki oznaczone

Całki oznaczone mają granice całkowania i dają konkretną liczbę. Wzór: ∫[a→b]f(x)dx = [F(x)][a→b] = F(b) - F(a). Nie ma tutaj stałej całkowania!

Praktyczne zastosowania to obliczanie pól powierzchni pod wykresami. Gdy funkcja jest pod osią x, pole będzie ujemne - wtedy bierzesz wartość bezwzględną.

💡 Wskazówka: W całkach oznaczonych zawsze podstawiaj najpierw górną granicę, potem odejmujesz wartość dla dolnej granicy!

of 6

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Obliczanie pól między wykresami

W przykładzie z parabolą y = x² - 1 między x = -1 i x = 1, pole wynosi 4/3. Pamiętaj, że gdy parabola jest pod osią x, musisz odejmować od 0!

Punkty przecięcia znajdziesz przyrównując funkcje i rozwiązując równanie. Używasz delty i wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

💡 Wskazówka: Zawsze rysuj sobie szkic wykresów - od razu zobaczysz, która funkcja jest "na górze"!

of 6

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Równania różniczkowe - krok po kroku

Równania różniczkowe to równania z pochodnymi, ale nie panikuj - mają swój schemat rozwiązywania! Kluczem jest rozdzielenie zmiennych i przepisanie y' jako dy/dx.

W przykładzie x + yy' = 0 z warunkiem y(2) = 2 otrzymujemy y = √ $-x² + 8$ . Warunek brzegowy pozwala wyznaczyć stałą całkowania.

💡 Wskazówka: W równaniach różniczkowych zawsze sprawdź swoją odpowiedź - podstaw z powrotem do równania i zobacz czy się zgadza!

of 6

$* pachodne $f(x)= c$ $f'(x)=0$ $f(x)= x^n$ $f'(x)=nx^{n-1}$ $f(x) = x$ $f'(x)= 1$ $f(x)=\frac{1}{x}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ $f(x)=\sqrt$

Trudniejsze równania różniczkowe

Gdy masz równanie typu y' = ay², musisz pamiętać, że 1/y² w całce daje -1/y. Te równania wymagają więcej ostrożności przy podstawieniach.

W przykładzie y' = 2y + 1 z y(0) = 1 używamy podstawienia t = 2y + 1. Po całkowaniu otrzymujemy funkcję wykładniczą - to typowy rezultat dla tego typu równań.

Sprawdzanie odpowiedzi to zawsze dobry pomysł. Policz pochodną swojego wyniku i zobacz, czy spełnia pierwotne równanie różniczkowe.

💡 Wskazówka: Przy skomplikowanych równaniach rób podstawienia - zamień trudne wyrażenie na prostą zmienną t!