Matemáticas

Ecuaciones Lineales y Gráficas

Ecuaciones lineales de dos variables

Matemàtiques354 views·Updated Jun 23, 2026·13 pages

Matemàtiques: Vectors i Geometria

Berta Molina Olvera@bertamolinaolvera_tdhe

Add to Google sources

Els vectors són una eina fonamental per entendre la geometria...

1 / 10

of 10

# 6 - VECTORS i GEOMETRIA

ANALÍTICA

VECTORS

Segment orientat al pla que va d'un punt A a un punt B:

AB

Mòdul: longitud

Direcció: horit

Vectors: Conceptes Bàsics i Operacions

Els vectors són segments orientats que tenen tres característiques clau: mòdul (longitud), direcció $horitzontal/vertical$ i sentit $positiu/negatiu$ . És com una fletxa que et diu cap a on i amb quina intensitat vas.

Quan treballes amb vectors en components, utilitzes la base ortonormal amb vectors î i ĵ de mòdul 1 i perpendiculars entre ells. Per exemple, el vector (2,3) significa 2î + 3ĵ.

Les operacions amb vectors són súper directes: per sumar vectors sumes component a component, per restar restes component a component, i per multiplicar per un escalar multipliques cada component pel número. Així de simple!

Consell clau: Sempre recorda que les operacions es fan component per component - és la regla d'or dels vectors.

of 10

Producte Escalar de Vectors

El producte escalar és una operació que et dona un número (no un vector) i té dues fórmules útils. La geomètrica: û·v̂ = |û||v̂|cos(angle) i la de components: û·v̂ = u₁v₁ + u₂v₂.

La part més útil del producte escalar és que quan dos vectors són perpendiculars, el seu producte escalar és 0. Això et permet detectar angles rectes fàcilment!

Per calcular el mòdul d'un vector, uses la fórmula |û| = √ $u₁² + u₂²$ . I si vols trobar l'angle entre dos vectors, uses cos(angle) = (û·v̂)/(|û||v̂|) i després apliques arccos.

Truc d'examen: Si el producte escalar és 0, els vectors són perpendiculars. Si és positiu, l'angle és agut; si és negatiu, l'angle és obtús.

of 10

Equacions de la Recta: Formes Bàsiques

Una recta al pla es pot expressar de diferents maneres segons el que necessitis. L'equació vectorial té la forma (x,y) = (a₁,a₂) + λ(v₁,v₂), on λ és un paràmetre real que et dona tots els punts de la recta.

L'equació paramètrica separa les components: x = a₁ + λv₁ i y = a₂ + λv₂. És molt útil per trobar punts concrets de la recta donant valors a λ.

L'equació contínua elimina el paràmetre: $x-a₁$ /v₁ = $y-a₂$ /v₂. Amb aquesta forma pots comprovar ràpidament si un punt pertany a la recta.

Estratègia: Usa la forma paramètrica per trobar punts, la contínua per verificar si un punt pertany a la recta, i la vectorial per visualitzar millor la recta.

of 10

Recta Determinada per Dos Punts

Quan tens dos punts A i B i vols trobar l'equació de la recta que passa per ells, primer calcules el vector direcció AB = B - A. Aquest vector et marca la direcció de la recta.

Després ja pots escriure totes les formes de l'equació: vectorial, paramètrica i contínua, utilitzant qualsevol dels dos punts com a punt base i el vector AB com a vector direcció.

És important que practicar aquest procés perquè és la base per resoldre molts problemes de geometria analítica. Una vegada dominis aquest mètode, podràs passar fàcilment d'una forma d'equació a una altra.

Nota important: El vector direcció sempre es calcula com punt final menys punt inicial: AB = B - A.

of 10

Formes d'Equació de la Recta

A més de les formes vectorial, paramètrica i contínua, tens l'equació general (implícita): Ax + By + C = 0. El vector direcció d'aquesta recta és $B, -A$ o $-B, A$ .

L'equació explícita és y = mx + n, on m és el pendent de la recta i n és l'ordenada a l'origen (el punt on la recta talla l'eix y).

Per passar de la forma general a l'explícita, simplement aïlles la y: de Ax + By + C = 0 obtens y = $-A/B$ x - C/B. Això et permet veure directament el pendent i l'ordenada a l'origen.

Consell pràctic: La forma explícita y = mx + n és perfecta per representar gràficament la recta i entendre el seu comportament visual.

of 10

Posició Relativa de Dues Rectes

Quan tens dues rectes en forma general Ax + By + C = 0 i A'x + B'y + C' = 0, pots determinar la seva posició comparant les ràtios dels coeficients.

Si A/A' ≠ B/B', les rectes són secants (es tallen en un punt). Pots trobar aquest punt resolent el sistema d'equacions.

Si A/A' = B/B' = C/C', són la mateixa recta. Si A/A' = B/B' ≠ C/C', són paral·leles (no es tallen mai).

Metodologia d'examen: Sempre comprova primer les ràtios A/A' i B/B'. Això et dirà immediatament si són secants o no, i després mira C/C' per distingir entre coincidents i paral·leles.

of 10

Feixos de Rectes

Un feix de rectes és un conjunt de rectes que comparteixen una propietat comuna. Hi ha dos tipus principals que has de conèixer.

El feix de rectes amb punt comú té l'equació y - y₀ = m $x - x₀$ , on (x₀, y₀) és el punt fix i m és la variable que canvia per donar-te diferents rectes.

El feix de rectes paral·leles manté constant la direcció però canvia la posició. Totes tenen el mateix pendent però diferent ordenada a l'origen.

Aplicació útil: Els feixos són especialment útils per trobar rectes que compleixin condicions específiques, com passar per un punt determinat o ser paral·lela a una recta donada.

of 10

Angle Entre Dues Rectes Secants

Per calcular l'angle entre dues rectes secants, utilitzes la fórmula del cosinus amb els seus vectors direcció. El resultat sempre et dona un angle menor de 90°.

Si tens les rectes en forma general Ax + By + C = 0 i A'x + B'y + C' = 0, la fórmula és: cos α = |AA' + BB'|/√ $A² + B²$ √ $A'² + B'²$ .

Els vectors direcció d'aquestes rectes són $B, -A$ i $B', -A'$ respectivament. Recorda sempre posar el valor absolut al numerador per obtenir l'angle agut.

Detall important: Sempre uses valor absolut al numerador perquè vols l'angle més petit entre les dues rectes, no l'angle obtús.

of 10

Distància Entre Punts i Punt-Recta

La distància entre dos punts A(a₁,a₂) i B(b₁,b₂) és simplement el mòdul del vector AB: d(A,B) = √ $(b₁-a₁)² + (b₂-a₂)²$ . És el teorema de Pitàgores aplicat!

Per calcular la distància d'un punt P(a,b) a una recta Ax + By + C = 0, uses la fórmula: d(P,r) = |Aa + Bb + C|/√ $A² + B²$ .

Aquesta fórmula és súper pràctica perquè només necessites substituir les coordenades del punt a l'equació de la recta i dividir pel mòdul del vector normal.

Truc de memòria: Per recordar la fórmula punt-recta, pensa que substitueixes el punt a l'equació de la recta i divideixes per la "longitud" dels coeficients A i B.

of 10

Distància Entre Dues Rectes

La distància entre dues rectes depèn de la seva posició relativa. Si són secants o coincidents, la distància és 0. Només té sentit calcular distància entre rectes paral·leles.

Per trobar la distància entre rectes paral·leles, agafes qualsevol punt d'una recta i calcules la seva distància a l'altra recta utilitzant la fórmula punt-recta.

Els exercicis pràctics mostren com aplicar aquestes fórmules: substitueixes coordenades, operes amb valors absoluts i obtens la distància en unitats de longitud.

Estratègia de resolució: Primer verifica que les rectes siguin paral·leles, després agafa un punt fàcil d'una recta $com fer λ=0 en la paramètrica$ i aplica la fórmula punt-recta.

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user

Matemáticas

Ecuaciones Lineales y Gráficas

Ecuaciones lineales de dos variables

Matemàtiques354 views·Updated Jun 23, 2026·13 pages

Matemàtiques: Vectors i Geometria

Berta Molina Olvera@bertamolinaolvera_tdhe

Add to Google sources

Els vectors són una eina fonamental per entendre la geometria i resoldre problemes de matemàtiques de forma més visual. En aquest tema aprendràs a treballar amb vectors, equacions de rectes i càlculs de distàncies al pla de manera pràctica.

of 10

Vectors: Conceptes Bàsics i Operacions

Quan treballes amb vectors en components, utilitzes la base ortonormal amb vectors î i ĵ de mòdul 1 i perpendiculars entre ells. Per exemple, el vector (2,3) significa 2î + 3ĵ.

Consell clau: Sempre recorda que les operacions es fan component per component - és la regla d'or dels vectors.

of 10

Producte Escalar de Vectors

La part més útil del producte escalar és que quan dos vectors són perpendiculars, el seu producte escalar és 0. Això et permet detectar angles rectes fàcilment!

Truc d'examen: Si el producte escalar és 0, els vectors són perpendiculars. Si és positiu, l'angle és agut; si és negatiu, l'angle és obtús.

of 10

Equacions de la Recta: Formes Bàsiques

L'equació paramètrica separa les components: x = a₁ + λv₁ i y = a₂ + λv₂. És molt útil per trobar punts concrets de la recta donant valors a λ.

L'equació contínua elimina el paràmetre: $x-a₁$ /v₁ = $y-a₂$ /v₂. Amb aquesta forma pots comprovar ràpidament si un punt pertany a la recta.

Estratègia: Usa la forma paramètrica per trobar punts, la contínua per verificar si un punt pertany a la recta, i la vectorial per visualitzar millor la recta.

of 10

Recta Determinada per Dos Punts

Quan tens dos punts A i B i vols trobar l'equació de la recta que passa per ells, primer calcules el vector direcció AB = B - A. Aquest vector et marca la direcció de la recta.

Després ja pots escriure totes les formes de l'equació: vectorial, paramètrica i contínua, utilitzant qualsevol dels dos punts com a punt base i el vector AB com a vector direcció.

Nota important: El vector direcció sempre es calcula com punt final menys punt inicial: AB = B - A.

of 10

Formes d'Equació de la Recta

A més de les formes vectorial, paramètrica i contínua, tens l'equació general (implícita): Ax + By + C = 0. El vector direcció d'aquesta recta és $B, -A$ o $-B, A$ .

L'equació explícita és y = mx + n, on m és el pendent de la recta i n és l'ordenada a l'origen (el punt on la recta talla l'eix y).

Per passar de la forma general a l'explícita, simplement aïlles la y: de Ax + By + C = 0 obtens y = $-A/B$ x - C/B. Això et permet veure directament el pendent i l'ordenada a l'origen.

Consell pràctic: La forma explícita y = mx + n és perfecta per representar gràficament la recta i entendre el seu comportament visual.

of 10

Posició Relativa de Dues Rectes

Quan tens dues rectes en forma general Ax + By + C = 0 i A'x + B'y + C' = 0, pots determinar la seva posició comparant les ràtios dels coeficients.

Si A/A' ≠ B/B', les rectes són secants (es tallen en un punt). Pots trobar aquest punt resolent el sistema d'equacions.

Si A/A' = B/B' = C/C', són la mateixa recta. Si A/A' = B/B' ≠ C/C', són paral·leles (no es tallen mai).

Metodologia d'examen: Sempre comprova primer les ràtios A/A' i B/B'. Això et dirà immediatament si són secants o no, i després mira C/C' per distingir entre coincidents i paral·leles.

of 10

Feixos de Rectes

Un feix de rectes és un conjunt de rectes que comparteixen una propietat comuna. Hi ha dos tipus principals que has de conèixer.

El feix de rectes amb punt comú té l'equació y - y₀ = m $x - x₀$ , on (x₀, y₀) és el punt fix i m és la variable que canvia per donar-te diferents rectes.

El feix de rectes paral·leles manté constant la direcció però canvia la posició. Totes tenen el mateix pendent però diferent ordenada a l'origen.

Aplicació útil: Els feixos són especialment útils per trobar rectes que compleixin condicions específiques, com passar per un punt determinat o ser paral·lela a una recta donada.

of 10

Angle Entre Dues Rectes Secants

Per calcular l'angle entre dues rectes secants, utilitzes la fórmula del cosinus amb els seus vectors direcció. El resultat sempre et dona un angle menor de 90°.

Si tens les rectes en forma general Ax + By + C = 0 i A'x + B'y + C' = 0, la fórmula és: cos α = |AA' + BB'|/√ $A² + B²$ √ $A'² + B'²$ .

Els vectors direcció d'aquestes rectes són $B, -A$ i $B', -A'$ respectivament. Recorda sempre posar el valor absolut al numerador per obtenir l'angle agut.

Detall important: Sempre uses valor absolut al numerador perquè vols l'angle més petit entre les dues rectes, no l'angle obtús.

of 10

Distància Entre Punts i Punt-Recta

La distància entre dos punts A(a₁,a₂) i B(b₁,b₂) és simplement el mòdul del vector AB: d(A,B) = √ $(b₁-a₁)² + (b₂-a₂)²$ . És el teorema de Pitàgores aplicat!

Per calcular la distància d'un punt P(a,b) a una recta Ax + By + C = 0, uses la fórmula: d(P,r) = |Aa + Bb + C|/√ $A² + B²$ .

Aquesta fórmula és súper pràctica perquè només necessites substituir les coordenades del punt a l'equació de la recta i dividir pel mòdul del vector normal.

Truc de memòria: Per recordar la fórmula punt-recta, pensa que substitueixes el punt a l'equació de la recta i divideixes per la "longitud" dels coeficients A i B.

of 10

Distància Entre Dues Rectes

La distància entre dues rectes depèn de la seva posició relativa. Si són secants o coincidents, la distància és 0. Només té sentit calcular distància entre rectes paral·leles.

Per trobar la distància entre rectes paral·leles, agafes qualsevol punt d'una recta i calcules la seva distància a l'altra recta utilitzant la fórmula punt-recta.

Els exercicis pràctics mostren com aplicar aquestes fórmules: substitueixes coordenades, operes amb valors absoluts i obtens la distància en unitats de longitud.

Estratègia de resolució: Primer verifica que les rectes siguin paral·leles, després agafa un punt fàcil d'una recta $com fer λ=0 en la paramètrica$ i aplica la fórmula punt-recta.