Matematica

Limiti di Funzione e Asintoti

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Analisi Matematica I per Ingegneria Informatica

Martina Bruno@martiibruno

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Questi appunti di matematica coprono concetti fondamentali che ti serviranno...

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# Richiami e notazione (INSIEMI)

A = {3, 5, 9} D= {n∈N: nè dispari} = {2m+1:m∈N} E={a, b, c}} -> |E| = 2

* N = numeri naturali = {0, 1,

Richiami e Notazione degli Insiemi

Gli insiemi sono semplicemente collezioni di oggetti, come una scatola che contiene delle cose specifiche. Per esempio, A = {3, 5, 9} contiene solo quei tre numeri.

Ci sono alcuni insiemi che userai sempre: N (numeri naturali 0, 1, 2...), Z (numeri interi inclusi i negativi), Q (frazioni), R (numeri reali) e C (numeri complessi). La cardinalità |A| ti dice semplicemente quanti elementi ci sono nell'insieme.

Le operazioni tra insiemi sono come le operazioni tra numeri, ma più intuitive. L'unione A ∪ B prende tutto quello che c'è in A e in B, l'intersezione A ∩ B prende solo gli elementi comuni. Il prodotto cartesiano A × B crea tutte le coppie possibili - molto utile per il piano cartesiano!

💡 Trucco: Due insiemi sono disgiunti quando A ∩ B = ∅, cioè non hanno niente in comune!

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Proprietà e Leggi degli Insiemi

Gli insiemi seguono regole precise, proprio come l'algebra. Le leggi di De Morgan sono fondamentali: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ. In pratica, il complementare di un'unione è l'intersezione dei complementari.

L'insieme delle parti P(A) contiene tutti i possibili sottoinsiemi di A. Se A ha 2 elementi, P(A) ne avrà 2² = 4. È una crescita esponenziale che ti stupirà sempre!

Le proprietà sono simili a quelle dei numeri: unione e intersezione sono commutative $A ∪ B = B ∪ A$ e associative. Esistono anche proprietà distributive che collegano unione e intersezione.

💡 Nota bene: Se |A| = n, allora |P(A)| = 2ⁿ - una delle formule più eleganti della matematica!

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Insiemi Numerici e Proprietà Fondamentali

I numeri razionali Q sono tutte le frazioni p/q dove p e q sono interi e q ≠ 0. Questi numeri hanno proprietà speciali che li rendono un campo ordinato.

Le proprietà della somma includono: commutatività, associatività, esistenza dello zero e dell'opposto. Per la moltiplicazione abbiamo: commutatività, associatività, esistenza dell'uno e del reciproco (per numeri ≠ 0), più la distributiva che collega somma e prodotto.

Un insieme con tutte queste proprietà (1-9) si chiama campo. Gli insiemi N e Z non sono campi perché mancano alcune proprietà - per esempio, in N non esistono opposti, in Z non esistono reciproci.

💡 Importante: La proprietà di densità di Q significa che tra due numeri razionali qualsiasi puoi sempre trovarne un altro razionale!

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Numeri Reali e Completezza

Esistono numeri che non sono razionali, come √2. La dimostrazione che √2 ∉ Q è un classico: se fosse razionale, porterebbe a una contraddizione (p e q sarebbero entrambi pari).

I numeri reali R si rappresentano con allineamenti decimali infiniti. I razionali danno allineamenti limitati o periodici, gli irrazionali danno allineamenti non periodici.

La proprietà più importante di R è la completezza: ogni insieme limitato superiormente ha un estremo superiore. Questo distingue R da Q e permette di "riempire tutti i buchi" sulla retta numerica.

💡 Teorema chiave: Sia Q che i numeri irrazionali sono densi in R - tra due reali qualsiasi trovi sempre sia razionali che irrazionali!

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Intervalli ed Estremi

Gli intervalli sono porzioni continue della retta reale. Possono essere aperti (a,b), chiusi [a,b] o misti [a,b). Le semirette estendono il concetto all'infinito.

Un insieme A ha maggioranti (numeri ≥ di tutti gli elementi di A) e minoranti (numeri ≤ di tutti gli elementi). Il massimo è un maggiorante che appartiene ad A, il minimo è un minorante che appartiene ad A.

Il teorema di completezza garantisce che ogni insieme limitato superiormente ha un estremo superiore (il più piccolo maggiorante) e ogni insieme limitato inferiormente ha un estremo inferiore (il più grande minorante).

💡 Differenza cruciale: Massimo e minimo appartengono all'insieme, estremi superiore e inferiore possono non appartenervi!

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Caratterizzazione degli Estremi

Gli estremi superiore e inferiore hanno una caratterizzazione precisa. Se l = sup A, allora: tutti gli elementi di A sono ≤ l, e per ogni ε > 0 esiste almeno un elemento di A maggiore di l - ε.

La dimostrazione della completezza di R è costruttiva: si costruisce cifra per cifra l'allineamento decimale dell'estremo. È un processo che "stringe" sempre di più l'intervallo fino a individuare il numero cercato.

Questa proprietà è unica dei numeri reali. È quello che rende R "completo" rispetto a Q e permette di risolvere equazioni come x² = 2.

💡 Tecnica: Per dimostrare che un numero è sup A, verifica le due condizioni: è maggiorante e per ogni ε > 0 puoi "avvicinarti" quanto vuoi!

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Radici e Potenze

Per ogni numero reale y ≥ 0 esiste un unico numero non negativo x tale che x² = y. Questo numero si chiama radice quadrata e si scrive x = √y.

Il concetto si generalizza: per ogni n ∈ N e y ≥ 0, esiste un unico x ≥ 0 tale che xⁿ = y. Si scrive x = ⁿ√y = y^ $1/n$ .

Quando n è dispari, puoi estrarre radici anche da numeri negativi, perché $-x$ ⁿ = -xⁿ. Questo significa che ³√(-8) = -2.

💡 Regola pratica: Indice pari → solo numeri positivi; indice dispari → tutti i numeri reali!

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Introduzione alle Funzioni

Una funzione f: X → Y è una "macchina" che prende ogni elemento x di X e gli associa esattamente un elemento y di Y. Scrivi y = f(x).

Il dominio X è l'insieme di partenza, il codominio Y quello di arrivo. L'immagine è l'insieme dei valori effettivamente assunti da f. Il grafico è l'insieme di tutte le coppie (x, f(x)).

Le funzioni possono essere monotone: crescenti se x₁ < x₂ implica f(x₁) ≤ f(x₂), strettamente crescenti se f(x₁) < f(x₂). Possono essere pari se f $-x$ = f(x) o dispari se f $-x$ = -f(x).

💡 Test visivo: Una funzione è crescente se il grafico "va verso l'alto" da sinistra a destra!

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Proprietà delle Funzioni

Le funzioni pari hanno grafici simmetrici rispetto all'asse y, quelle dispari rispetto all'origine. Se f è dispari, allora f(0) = 0 (quando 0 è nel dominio).

Una funzione è limitata se esiste un numero M tale che |f(x)| ≤ M per tutti gli x del dominio. Puoi definire estremo superiore e inferiore di una funzione proprio come per gli insiemi.

Per le successioni {aₙ}, la monotonia si verifica confrontando termini consecutivi: aₙ ≤ aₙ₊₁ per successioni crescenti.

💡 Proprietà utile: Il prodotto di due funzioni pari (o due dispari) è pari; il prodotto di una pari e una dispari è dispari!

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Funzioni Iniettive, Suriettive e Inverse

Una funzione è iniettiva se elementi diversi hanno immagini diverse: x₁ ≠ x₂ implica f(x₁) ≠ f(x₂). È suriettiva se ogni elemento del codominio ha almeno una controimmagine.

Una funzione biiettiva è sia iniettiva che suriettiva. Solo le funzioni biiettive hanno funzione inversa f⁻¹, che "inverte" l'operazione: se y = f(x), allora x = f⁻¹(y).

Le funzioni strettamente monotone sono sempre iniettive. Se f è strettamente crescente, anche f⁻¹ lo è. Questo collegamento tra monotonia e invertibilità è fondamentale.

💡 Test del grafico: Una funzione è iniettiva se ogni retta orizzontale interseca il grafico al massimo una volta!

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Questa proprietà è unica dei numeri reali. È quello che rende R "completo" rispetto a Q e permette di risolvere equazioni come x² = 2.

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Per ogni numero reale y ≥ 0 esiste un unico numero non negativo x tale che x² = y. Questo numero si chiama radice quadrata e si scrive x = √y.

Il concetto si generalizza: per ogni n ∈ N e y ≥ 0, esiste un unico x ≥ 0 tale che xⁿ = y. Si scrive x = ⁿ√y = y^ $1/n$ .

Quando n è dispari, puoi estrarre radici anche da numeri negativi, perché $-x$ ⁿ = -xⁿ. Questo significa che ³√(-8) = -2.

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Una funzione è limitata se esiste un numero M tale che |f(x)| ≤ M per tutti gli x del dominio. Puoi definire estremo superiore e inferiore di una funzione proprio come per gli insiemi.

Per le successioni {aₙ}, la monotonia si verifica confrontando termini consecutivi: aₙ ≤ aₙ₊₁ per successioni crescenti.

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