Matematică240 views·Updated Jun 26, 2026·16 pages

Ghid Practic: Teoria Geometriei

Ana Ilie@anailie

Add to Google sources

Această notă de studiu conține formule și concepte esențiale de...

1 / 10

of 10

Recapitulare
geometric

I. Unghiuri
1. Unghiul nul =0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul alungit = 180

~Unghi

Formule de bază pentru forme geometrice

În geometria plană, fiecare formă are propriile formule pentru perimetru și arie. La dreptunghiuri folosim formula P=2L+2l pentru perimetru și A=L·l pentru arie.

Rombul are perimetru P=4l (toate laturile fiind egale) și aria A=d₁·d₂/2, unde d₁ și d₂ sunt diagonalele. O proprietate importantă: diagonalele se înjumătățesc și sunt bisectoare.

Pătratul, fiind un caz special de romb, are perimetrul P=4l și aria A=l². Diagonalele sunt perpendiculare, congruente și bisectoare.

💡 Pentru trapez, folosim formula A= $B+b$ ·h/2 pentru arie, unde B și b sunt bazele, iar h este înălțimea. Poți să memorezi asta ca "aria = linia de mijloc × înălțimea".

of 10

Triunghiuri și linii importante

Triunghiurile sunt forme fundamentale în geometrie. Aria unui triunghi oarecare se calculează cu formula A=B·h/2, unde B este baza și h înălțimea.

Pentru triunghiul echilateral cu latura l, aria este A=l²√3/4, iar înălțimea h=l√3/2. Centrul cercului circumscris se află la distanța R=l√3/3 de orice vârf.

În triunghiul dreptunghic aplicăm teorema lui Pitagora: c²=a²+b². Într-un triunghi dreptunghic cu unghi de 30°, cateta opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuză.

Mediana pornește din vârf până la mijlocul laturii opuse. Medianele unui triunghi sunt concurente într-un punct numit centru de greutate (G), care se află la 2/3 distanță de vârf și 1/3 distanță de mijlocul laturii.

of 10

Cazuri de congruență a triunghiurilor

Congruența triunghiurilor ne ajută să demonstrăm că două triunghiuri sunt identice. Există trei cazuri principale:

L.U.L. $Latură-Unghi-Latură$ : Două triunghiuri sunt congruente dacă au două laturi și unghiul dintre ele congruente.
U.L.U. $Unghi-Latură-Unghi$ : Două triunghiuri sunt congruente dacă au o latură și două unghiuri congruente.
L.L.L. $Latură-Latură-Latură$ : Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate cele trei laturi congruente.

🔍 Pentru triunghiuri dreptunghice există și cazul C.C. $Catetă-Catetă$ : dacă două triunghiuri dreptunghice au două catete congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.

of 10

Asemănarea triunghiurilor

Două triunghiuri sunt asemenea când au unghiurile congruente și laturile proporționale. Notăm asemănarea cu simbolul ~.

Cazuri de asemănare:

L.U.L.: Dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altui triunghi, iar unghiurile dintre ele sunt congruente, triunghiurile sunt asemenea.
L.L.: Dacă laturile a două triunghiuri sunt proporționale, triunghiurile sunt asemenea.

Când două triunghiuri sunt asemenea, avem câteva reguli importante pentru rapoartele între ele:

Raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare (k)
Raportul ariilor este egal cu pătratul raportului de asemănare (k²)

of 10

Cercul și unghiurile în cerc

Cercul este o formă geometrică perfectă cu proprietăți speciale. Elementele sale principale sunt: raza, diametrul $=2R$ , coarda, arcul și unghiurile.

Există două tipuri principale de unghiuri în cerc:

Unghiul la centru: Măsura unghiului la centru este egală cu măsura arcului pe care îl subîntinde. Dacă unghiul la centru este α, atunci m(α) = m(arcului AB).
Unghiul înscris în cerc: Un unghi înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din măsura arcului pe care îl subîntinde. Dacă unghiul înscris este ABC, atunci m(∠ABC) = m(arcului AC)/2.

🔄 Toți unghiurii înscriși care subîntind același arc au aceeași măsură!

of 10

Poziții relative față de cerc

Unghiurile cu vârful în interiorul unui cerc și unghiurile cu vârful în exteriorul cercului au formule specifice:

Pentru un unghi cu vârful în interiorul cercului: măsura unghiului este jumătate din suma măsurilor arcelor subîntinse de laturile sale.

Pentru un unghi cu vârful în exteriorul cercului: măsura unghiului este jumătate din diferența măsurilor arcelor subîntinse de laturile sale.

O dreaptă poate avea trei poziții față de un cerc:

Secantă: intersectează cercul în două puncte
Tangentă: atinge cercul într-un singur punct
Exterioară: nu intersectează cercul

🎯 Tangenta la cerc în punctul A este perpendiculară pe raza OA care ajunge în punctul de tangență.

of 10

Lungimi și arii asociate cercului

Cercul are câteva formule esențiale pentru lungime și arie:

Lungimea cercului (circumferința): L = 2πR
Aria cercului: A = πR²

Pentru un arc de cerc cu măsura de x grade:

Lungimea arcului: L = $πR/180°$ · x°
Aria sectorului de cerc: A = $πR²/360°$ · x°

Un sector de cerc este o porțiune din cerc mărginită de două raze și un arc de cerc. Poți să-ți imaginezi ca o felie de pizza!

of 10

Poligoane regulate

Poligoanele regulate sunt figuri cu toate laturile și unghiurile congruente. Iată câteva exemple importante:

Triunghiul echilateral are:

Înălțimea: h = l√3/2
Apotema: a = l√3/6
Raza cercului circumscris: R = l√3/3
Aria: A = l²√3/4
Perimetrul: P = 3l

Pătratul are:

Diagonala: d = l√2
Raza cercului circumscris: R = l√2/2
Apotema: a = l/2
Aria: A = l² sau A = d²/2
Perimetrul: P = 4l

🔷 Hexagonul regulat are 6 laturi egale și formează în interior 6 triunghiuri echilaterale. Este o figură foarte utilă în construcții și în natură!

of 10

Drepte și plane în spațiu

În geometria în spațiu, relațiile între drepte și plane sunt fundamentale:

Dreaptă paralelă cu un plan: O dreaptă este paralelă cu un plan dacă ea este paralelă cu o dreaptă din acel plan. Dacă a∥b și b⊂α, atunci a∥α.

Dreaptă perpendiculară cu un plan: O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan care trece prin punctul de intersecție.

Proprietăți importante:

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci orice dreaptă paralelă cu ea este perpendiculară pe același plan
Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele între ele
Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendiculară pe întregul plan

of 10

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user

Matematică240 views·Updated Jun 26, 2026·16 pages

Ghid Practic: Teoria Geometriei

Ana Ilie@anailie

Add to Google sources

Această notă de studiu conține formule și concepte esențiale de geometrie, de la figuri geometrice plane până la elemente de geometrie în spațiu. Vei găsi tot ce ai nevoie pentru a calcula arii, perimetre și pentru a înțelege relațiile între...

of 10

Formule de bază pentru forme geometrice

În geometria plană, fiecare formă are propriile formule pentru perimetru și arie. La dreptunghiuri folosim formula P=2L+2l pentru perimetru și A=L·l pentru arie.

Pătratul, fiind un caz special de romb, are perimetrul P=4l și aria A=l². Diagonalele sunt perpendiculare, congruente și bisectoare.

💡 Pentru trapez, folosim formula A= $B+b$ ·h/2 pentru arie, unde B și b sunt bazele, iar h este înălțimea. Poți să memorezi asta ca "aria = linia de mijloc × înălțimea".

of 10

Triunghiuri și linii importante

Triunghiurile sunt forme fundamentale în geometrie. Aria unui triunghi oarecare se calculează cu formula A=B·h/2, unde B este baza și h înălțimea.

Pentru triunghiul echilateral cu latura l, aria este A=l²√3/4, iar înălțimea h=l√3/2. Centrul cercului circumscris se află la distanța R=l√3/3 de orice vârf.

În triunghiul dreptunghic aplicăm teorema lui Pitagora: c²=a²+b². Într-un triunghi dreptunghic cu unghi de 30°, cateta opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuză.

of 10

Cazuri de congruență a triunghiurilor

Congruența triunghiurilor ne ajută să demonstrăm că două triunghiuri sunt identice. Există trei cazuri principale:

L.U.L. $Latură-Unghi-Latură$ : Două triunghiuri sunt congruente dacă au două laturi și unghiul dintre ele congruente.
U.L.U. $Unghi-Latură-Unghi$ : Două triunghiuri sunt congruente dacă au o latură și două unghiuri congruente.
L.L.L. $Latură-Latură-Latură$ : Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate cele trei laturi congruente.

🔍 Pentru triunghiuri dreptunghice există și cazul C.C. $Catetă-Catetă$ : dacă două triunghiuri dreptunghice au două catete congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.

of 10

Asemănarea triunghiurilor

Două triunghiuri sunt asemenea când au unghiurile congruente și laturile proporționale. Notăm asemănarea cu simbolul ~.

Cazuri de asemănare:

L.U.L.: Dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altui triunghi, iar unghiurile dintre ele sunt congruente, triunghiurile sunt asemenea.
L.L.: Dacă laturile a două triunghiuri sunt proporționale, triunghiurile sunt asemenea.

Când două triunghiuri sunt asemenea, avem câteva reguli importante pentru rapoartele între ele:

Raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare (k)
Raportul ariilor este egal cu pătratul raportului de asemănare (k²)

of 10

Cercul și unghiurile în cerc

Cercul este o formă geometrică perfectă cu proprietăți speciale. Elementele sale principale sunt: raza, diametrul $=2R$ , coarda, arcul și unghiurile.

Există două tipuri principale de unghiuri în cerc:

Unghiul la centru: Măsura unghiului la centru este egală cu măsura arcului pe care îl subîntinde. Dacă unghiul la centru este α, atunci m(α) = m(arcului AB).
Unghiul înscris în cerc: Un unghi înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din măsura arcului pe care îl subîntinde. Dacă unghiul înscris este ABC, atunci m(∠ABC) = m(arcului AC)/2.

🔄 Toți unghiurii înscriși care subîntind același arc au aceeași măsură!

of 10

Poziții relative față de cerc

Unghiurile cu vârful în interiorul unui cerc și unghiurile cu vârful în exteriorul cercului au formule specifice:

Pentru un unghi cu vârful în interiorul cercului: măsura unghiului este jumătate din suma măsurilor arcelor subîntinse de laturile sale.

Pentru un unghi cu vârful în exteriorul cercului: măsura unghiului este jumătate din diferența măsurilor arcelor subîntinse de laturile sale.

O dreaptă poate avea trei poziții față de un cerc:

Secantă: intersectează cercul în două puncte
Tangentă: atinge cercul într-un singur punct
Exterioară: nu intersectează cercul

🎯 Tangenta la cerc în punctul A este perpendiculară pe raza OA care ajunge în punctul de tangență.

of 10

Lungimi și arii asociate cercului

Cercul are câteva formule esențiale pentru lungime și arie:

Lungimea cercului (circumferința): L = 2πR
Aria cercului: A = πR²

Pentru un arc de cerc cu măsura de x grade:

Lungimea arcului: L = $πR/180°$ · x°
Aria sectorului de cerc: A = $πR²/360°$ · x°

Un sector de cerc este o porțiune din cerc mărginită de două raze și un arc de cerc. Poți să-ți imaginezi ca o felie de pizza!

of 10

Poligoane regulate

Poligoanele regulate sunt figuri cu toate laturile și unghiurile congruente. Iată câteva exemple importante:

Triunghiul echilateral are:

Înălțimea: h = l√3/2
Apotema: a = l√3/6
Raza cercului circumscris: R = l√3/3
Aria: A = l²√3/4
Perimetrul: P = 3l

Pătratul are:

Diagonala: d = l√2
Raza cercului circumscris: R = l√2/2
Apotema: a = l/2
Aria: A = l² sau A = d²/2
Perimetrul: P = 4l

🔷 Hexagonul regulat are 6 laturi egale și formează în interior 6 triunghiuri echilaterale. Este o figură foarte utilă în construcții și în natură!

of 10

Drepte și plane în spațiu

În geometria în spațiu, relațiile între drepte și plane sunt fundamentale:

Dreaptă paralelă cu un plan: O dreaptă este paralelă cu un plan dacă ea este paralelă cu o dreaptă din acel plan. Dacă a∥b și b⊂α, atunci a∥α.

Dreaptă perpendiculară cu un plan: O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan care trece prin punctul de intersecție.

Proprietăți importante:

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci orice dreaptă paralelă cu ea este perpendiculară pe același plan
Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele între ele
Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendiculară pe întregul plan

of 10