Mulțimi și operații cu numere

Mulțimile sunt colecții de obiecte sau numere. Simbolul ∈ înseamnă "aparține", iar ⊂ înseamnă "este inclus". Mulțimea vidă nu conține niciun element. Cele mai importante mulțimi de numere sunt:

• N = numerele naturale: 0, 1, 2, 3...
• Z = numerele întregi: ...-2, -1, 0, 1, 2...
• Q = numerele raționale (fracții)
• R = numerele reale (include și √2, π)

Poți face operații între mulțimi: reuniunea (∪) adună toate elementele, intersecția (∩) păstrează doar elementele comune.

Știai că? Numerele iraționale sunt cele care nu pot fi scrise ca fracții, de exemplu √7 sau π!

Când calculezi cu numere întregi, ține minte regulile de semne:

• La înmulțire și împărțire: semne la fel → rezultat pozitiv; semne diferite → rezultat negativ
• Opusul unui număr schimbă semnul: opusul lui 5 este -5

Puterile sunt înmulțiri repetate: 2³ = 2×2×2 = 8. Orice număr la puterea 0 este 1 (cu excepția lui 0⁰ care este 0).

Ecuații și sisteme

O ecuație de gradul II are forma ax²+bx+c=0 și se rezolvă folosind formula: x₁,₂ = $-b±√Δ$/2a, unde Δ = b²-4ac

Pentru sisteme de ecuații, poți folosi:

• Metoda substituției: Exprimi o necunoscută și o înlocuiești în cealaltă ecuație
• Metoda reducerii: Aduni sau scazi ecuațiile pentru a elimina o necunoscută

Rapoarte și proporții

Un raport este împărțirea a două numere. O proporție este o egalitate între două rapoarte, de exemplu 2/3 = 4/6.

Procentul reprezintă o fracție din 100. De exemplu, 7% din 300 = 300×7/100 = 21.

Divizibilitate și fracții

Un număr este divizibil cu altul dacă împărțirea se face exact. Iată câteva criterii de divizibilitate:

• Cu 2: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8
• Cu 3: suma cifrelor se divide cu 3
• Cu 5: ultima cifră este 0 sau 5

Fracțiile sunt de mai multe tipuri:

• Subunitare: numărătorul < numitorul (2/3)
• Supraunitare: numărătorul > numitorul (4/3)
• Ireductibile: nu se mai pot simplifica (3/4)

Unghiuri și figuri geometrice

Unghiurile sunt măsuri ale rotației și pot fi:

• Ascuțite: mai mici de 90°
• Drepte: exact 90°
• Obtuze: între 90° și 180°

Unghiuri speciale:

• Complementare: suma lor este 90°
• Suplementare: suma lor este 180°
• Opuse la vârf: sunt congruente (egale)

Important! Suma unghiurilor într-un triunghi este mereu 180°, iar într-un patrulater este 360°.

Triunghiuri și proprietăți

Triunghiul poate fi:

• Isoscel: are două laturi egale
• Echilateral: are toate laturile egale
• Dreptunghic: are un unghi drept

În orice triunghi există linii importante:

• Bisectoarea: împarte un unghi în două unghiuri egale
• Înălțimea: perpendiculară din vârf pe latura opusă
• Mediana: unește un vârf cu mijlocul laturii opuse
• Mediatoarea: perpendiculară pe mijlocul unei laturi

Teoreme utile:

• Teorema lui Pitagora: În triunghiul dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: c² = a² + b²
• Teorema lui Thales: O dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi împarte celelalte două laturi în segmente proporționale

Patrulatere

Cele mai importante patrulatere sunt:

• Paralelogramul: are laturile opuse paralele și egale
• Dreptunghiul: paralelogram cu un unghi drept
• Rombul: paralelogram cu două laturi alăturate egale
• Pătratul: are toate laturile egale și toate unghiurile drepte
• Trapezul: are doar două laturi paralele

Formule de arie

• Triunghi: A = (b×h)/2
• Paralelogram: A = b×h
• Dreptunghi: A = L×l
• Pătrat: A = l²
• Trapez: A = $(B+b)×h$/2
• Cerc: A = πR²

Geometrie în spațiu

Pentru corpuri geometrice, reține:

• Prisma: V = Abază×h
• Piramida: V = (Abază×h)/3
• Cilindrul: V = πR²h
• Conul: V = (πR²h)/3
• Sfera: V = (4πR³)/3 și A = 4πR²