Matematică192 views·Updated Jun 25, 2026·3 pages

Învățăm Funcțiile de Gradul 1 și 2

stingaluizaelena3@stingaluizaelen

Add to Google sources

Funcțiile de gradul I și II sunt esențiale în algebra...

1 / 3

of 3

Functia de gradul I
*P:R→R, f(x)=ax+b, a ≠0
* monotonia: a>0 ⇒funcția monotonă crescătoare
a<0 ⇒funcția monotonă descrescătoare
* Gf este o

Funcția de gradul I

Funcția de gradul I are forma f(x) = ax + b, unde a ≠ 0. Graficul ei este o dreaptă pe tot domeniul când domeniul de definiție este R, sau o semidreaptă când domeniul este un semiinterval.

Monotonia acestei funcții depinde de valoarea lui a:

Dacă a > 0, funcția este monoton crescătoare
Dacă a < 0, funcția este monoton descrescătoare

Pentru a găsi intersecțiile cu axele de coordonate:

Cu Ox: punem y = 0, deci ax + b = 0, obținem x = -b/a
Cu Oy: punem x = 0, deci y = b

Pro-tip! Pentru a afla semnul funcției de gradul I, calculează punctul de intersecție cu Ox $x = -b/a$ și apoi analizează semnul valorilor de o parte și de alta a acestui punct.

Funcția de gradul al II-lea are forma f(x) = ax² + bx + c, unde a ≠ 0. Pentru ecuația ax² + bx + c = 0, calculăm Δ = b² - 4ac și avem:

Dacă Δ > 0: ecuația are două soluții distincte x₁ = $-b-√Δ$ /(2a) și x₂ = $-b+√Δ$ /(2a)
Dacă Δ = 0: ecuația are o soluție dublă x₁ = x₂ = -b/(2a)
Dacă Δ < 0: ecuația nu are soluții reale

of 3

Funcția de gradul II

Graficul funcției de gradul II este o parabolă. Dacă a > 0, parabola este convexă (deschisă în sus) și funcția are un punct minim. Dacă a < 0, parabola este concavă și funcția are un punct maxim.

Punctul extrem (minim sau maxim) are coordonatele V(xv, yv), unde:

xv = -b/(2a)
yv = -Δ/(4a) unde Δ = b² - 4ac

Pentru intersecția cu axele de coordonate:

Cu Oy: x = 0, deci y = f(0) = c
Cu Ox: y = 0, deci rezolvăm ax² + bx + c = 0:
- Dacă Δ > 0: două puncte de intersecție
- Dacă Δ = 0: un punct de tangență
- Dacă Δ < 0: nicio intersecție

Atenție! Relațiile lui Viète sunt foarte utile pentru a rezolva probleme cu ecuații de gradul II! Dacă x₁ și x₂ sunt soluțiile ecuației, atunci: x₁ + x₂ = -b/a și x₁·x₂ = c/a.

Când lucrezi cu funcții de gradul II, gândește-te la ele ca la parabole și concentrează-te pe forma lor și pe punctele importante (vârful și intersecțiile).

of 3

Semnul funcției de gradul II

Un exemplu concret de ecuație de gradul II este x² - 5x + 4 = 0. Aplicând relațiile lui Viète, observăm că x₁ + x₂ = 5 și x₁·x₂ = 4, ceea ce ne confirmă forma ecuației.

Pentru a analiza semnul funcției de gradul II, trebuie să luăm în considerare discriminantul și valorile funcției:

Când Δ ≥ 0 (ecuația are soluții reale x₁ și x₂), semnul funcției f(x) = ax² + bx + c este:

În intervalul $-∞, x₁$ și $x₂, +∞$ : același semn cu a
În intervalul (x₁, x₂): semn contrar lui a

Când Δ < 0 (ecuația nu are soluții reale), funcția f(x) păstrează semnul lui a pe tot domeniul (-∞, +∞).

Reține! O expresie de gradul al II-lea păstrează semnul lui a dacă și numai dacă Δ ≤ 0. Acest lucru este esențial pentru rezolvarea inecuațiilor de gradul II!

Funcțiile de gradul II sunt versatile și apar în multe aplicații. Cu puțină practică, vei putea să le analizezi rapid și să rezolvi probleme complexe cu ușurință.

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user

Matematică192 views·Updated Jun 25, 2026·3 pages

Învățăm Funcțiile de Gradul 1 și 2

stingaluizaelena3@stingaluizaelen

Add to Google sources

Funcțiile de gradul I și II sunt esențiale în algebra pe care o studiezi în liceu. Aceste funcții apar frecvent în probleme și te vor ajuta să modelezi diverse situații matematice. Hai să le explorăm împreună într-un mod simplu și...

of 3

Funcția de gradul I

Monotonia acestei funcții depinde de valoarea lui a:

Dacă a > 0, funcția este monoton crescătoare
Dacă a < 0, funcția este monoton descrescătoare

Pentru a găsi intersecțiile cu axele de coordonate:

Cu Ox: punem y = 0, deci ax + b = 0, obținem x = -b/a
Cu Oy: punem x = 0, deci y = b

Pro-tip! Pentru a afla semnul funcției de gradul I, calculează punctul de intersecție cu Ox $x = -b/a$ și apoi analizează semnul valorilor de o parte și de alta a acestui punct.

Funcția de gradul al II-lea are forma f(x) = ax² + bx + c, unde a ≠ 0. Pentru ecuația ax² + bx + c = 0, calculăm Δ = b² - 4ac și avem:

Dacă Δ > 0: ecuația are două soluții distincte x₁ = $-b-√Δ$ /(2a) și x₂ = $-b+√Δ$ /(2a)
Dacă Δ = 0: ecuația are o soluție dublă x₁ = x₂ = -b/(2a)
Dacă Δ < 0: ecuația nu are soluții reale

of 3

Funcția de gradul II

Punctul extrem (minim sau maxim) are coordonatele V(xv, yv), unde:

xv = -b/(2a)
yv = -Δ/(4a) unde Δ = b² - 4ac

Pentru intersecția cu axele de coordonate:

Cu Oy: x = 0, deci y = f(0) = c
Cu Ox: y = 0, deci rezolvăm ax² + bx + c = 0:
- Dacă Δ > 0: două puncte de intersecție
- Dacă Δ = 0: un punct de tangență
- Dacă Δ < 0: nicio intersecție

Atenție! Relațiile lui Viète sunt foarte utile pentru a rezolva probleme cu ecuații de gradul II! Dacă x₁ și x₂ sunt soluțiile ecuației, atunci: x₁ + x₂ = -b/a și x₁·x₂ = c/a.

Când lucrezi cu funcții de gradul II, gândește-te la ele ca la parabole și concentrează-te pe forma lor și pe punctele importante (vârful și intersecțiile).

of 3

Semnul funcției de gradul II

Un exemplu concret de ecuație de gradul II este x² - 5x + 4 = 0. Aplicând relațiile lui Viète, observăm că x₁ + x₂ = 5 și x₁·x₂ = 4, ceea ce ne confirmă forma ecuației.

Pentru a analiza semnul funcției de gradul II, trebuie să luăm în considerare discriminantul și valorile funcției:

Când Δ ≥ 0 (ecuația are soluții reale x₁ și x₂), semnul funcției f(x) = ax² + bx + c este:

În intervalul $-∞, x₁$ și $x₂, +∞$ : același semn cu a
În intervalul (x₁, x₂): semn contrar lui a

Când Δ < 0 (ecuația nu are soluții reale), funcția f(x) păstrează semnul lui a pe tot domeniul (-∞, +∞).

Reține! O expresie de gradul al II-lea păstrează semnul lui a dacă și numai dacă Δ ≤ 0. Acest lucru este esențial pentru rezolvarea inecuațiilor de gradul II!

Funcțiile de gradul II sunt versatile și apar în multe aplicații. Cu puțină practică, vei putea să le analizezi rapid și să rezolvi probleme complexe cu ușurință.