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Ejercicios de Práctica de Sumas de Riemann

Yeferson Gallego Mosquera@efersonallegoosquera_5dyk

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Las sumas de Riemannson una herramienta fundamental para calcular...

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# Hallay el Avega Bajo la Regionemann
Limitada usando Sumicas

53) y=x+z; a=0

4-9
Tamaño de lapartkon = AXK = =
Paso = "Xx = 0 + k☆) =

M

Ejemplo básico: Función lineal

Cuando tenés que calcular el área bajo $y = x + 2$ entre $x = 0$ y $x = 1$ , empezás definiendo el tamaño de la partición: $\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}$ .

El siguiente paso es encontrar cada punto $x_k = 0 + k(\frac{1}{n}) = \frac{k}{n}$ . Esto te da los puntos donde vas a evaluar la función en cada rectángulo.

La suma de Riemann se convierte en: $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n} + 2)(\frac{1}{n})$ . Al separar las sumas y usar las fórmulas conocidas $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ , llegás al resultado final.

Consejo clave: Siempre separá las sumas en partes más simples para poder usar las fórmulas de sumatorias que ya conocés.

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Función cuadrática con intervalo más amplio

Para $y = \frac{1}{2}x^2 + 1$ en el intervalo $[0,7]$ , el proceso es similar pero más complejo. El tamaño de partición ahora es $\Delta x = \frac{7}{n}$ y cada paso es $x_k = \frac{7k}{n}$ .

Al sustituir en la suma de Riemann, obtenés términos con $k^2$ que requieren la fórmula $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Es crucial mantener el orden y no perderte en los cálculos.

El resultado final es $\frac{43}{6}$ , que podés verificar usando métodos de integración directa. La clave está en ser sistemático con cada paso.

Importante: Las funciones cuadráticas siempre van a involucrar la fórmula de suma de cuadrados, así que memorizala bien.

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Trabajando con intervalos negativos

El problema $y = 2x + 2$ en $[-1,1]$ te muestra cómo manejar intervalos que incluyen números negativos. El tamaño de partición es $\Delta x = \frac{2}{n}$ y cada punto es $x_k = -1 + \frac{2k}{n}$ .

Al expandir $(2(-1 + \frac{2k}{n}) + 2)$ , los términos constantes se cancelan parcialmente, simplificando mucho el cálculo. Esto es típico en problemas simétricos alrededor del origen.

La suma se reduce considerablemente: $\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} \sum k$ , lo que hace el cálculo final mucho más directo.

Truco útil: En intervalos simétricos, muchos términos se cancelan automáticamente, simplificando tu trabajo.

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Función cuadrática en intervalo simétrico

Para $y = x^2$ en $[-2,2]$ , tenés un intervalo simétrico con una función par. El tamaño de partición es $\Delta x = \frac{4}{n}$ y cada punto es $x_k = -2 + \frac{4k}{n}$ .

Al desarrollar $(x_k)^2$ , obtenés tres términos separados: uno con $k^2$ , otro con $k$ , y uno constante. Cada uno se maneja con su respectiva fórmula de sumatoria.

La expresión final involucra tanto $\sum k^2$ como $\sum k$ , por lo que necesitás aplicar ambas fórmulas cuidadosamente para llegar al resultado correcto.

Recordá: En funciones pares sobre intervalos simétricos, esperá que ciertos términos se compensen de manera elegante.

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Simplificación final y resultado

En el paso final del ejemplo anterior, tenés que simplificar fracciones complejas con múltiples términos en el numerador. La clave está en factorizar correctamente y cancelar términos similares.

Al tomar el límite cuando $n \to \infty$ , los términos con potencias menores de $n$ en el denominador se vuelven cero. Solo quedan los términos dominantes.

El resultado final es $\frac{32}{3}$ , que representa el área exacta bajo la parábola $y = x^2$ entre $x = -2$ y $x = 2$ .

Estrategia final: Cuando tengas fracciones complicadas, identificá primero los términos dominantes antes de calcular el límite.

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Ejercicios de Práctica de Sumas de Riemann

Yeferson Gallego Mosquera@efersonallegoosquera_5dyk

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Las sumas de Riemannson una herramienta fundamental para calcular el área bajo una curva cuando aún no manejas las fórmulas básicas de integración. Aunque el proceso puede parecer complicado al principio, seguir los pasos correctos te permitirá dominar esta...

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Ejemplo básico: Función lineal

Cuando tenés que calcular el área bajo $y = x + 2$ entre $x = 0$ y $x = 1$ , empezás definiendo el tamaño de la partición: $\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}$ .

El siguiente paso es encontrar cada punto $x_k = 0 + k(\frac{1}{n}) = \frac{k}{n}$ . Esto te da los puntos donde vas a evaluar la función en cada rectángulo.

Consejo clave: Siempre separá las sumas en partes más simples para poder usar las fórmulas de sumatorias que ya conocés.

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Función cuadrática con intervalo más amplio

Para $y = \frac{1}{2}x^2 + 1$ en el intervalo $[0,7]$ , el proceso es similar pero más complejo. El tamaño de partición ahora es $\Delta x = \frac{7}{n}$ y cada paso es $x_k = \frac{7k}{n}$ .

Al sustituir en la suma de Riemann, obtenés términos con $k^2$ que requieren la fórmula $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Es crucial mantener el orden y no perderte en los cálculos.

El resultado final es $\frac{43}{6}$ , que podés verificar usando métodos de integración directa. La clave está en ser sistemático con cada paso.

Importante: Las funciones cuadráticas siempre van a involucrar la fórmula de suma de cuadrados, así que memorizala bien.

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Trabajando con intervalos negativos

Al expandir $(2(-1 + \frac{2k}{n}) + 2)$ , los términos constantes se cancelan parcialmente, simplificando mucho el cálculo. Esto es típico en problemas simétricos alrededor del origen.

La suma se reduce considerablemente: $\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} \sum k$ , lo que hace el cálculo final mucho más directo.

Truco útil: En intervalos simétricos, muchos términos se cancelan automáticamente, simplificando tu trabajo.

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Al desarrollar $(x_k)^2$ , obtenés tres términos separados: uno con $k^2$ , otro con $k$ , y uno constante. Cada uno se maneja con su respectiva fórmula de sumatoria.

La expresión final involucra tanto $\sum k^2$ como $\sum k$ , por lo que necesitás aplicar ambas fórmulas cuidadosamente para llegar al resultado correcto.

Recordá: En funciones pares sobre intervalos simétricos, esperá que ciertos términos se compensen de manera elegante.

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Simplificación final y resultado

Al tomar el límite cuando $n \to \infty$ , los términos con potencias menores de $n$ en el denominador se vuelven cero. Solo quedan los términos dominantes.

El resultado final es $\frac{32}{3}$ , que representa el área exacta bajo la parábola $y = x^2$ entre $x = -2$ y $x = 2$ .

Estrategia final: Cuando tengas fracciones complicadas, identificá primero los términos dominantes antes de calcular el límite.