Binomio de Newton

El Binomio de Newton es una expresión que nos permite desarrollar potencias de binomios mediante una fórmula general. La expresión matemática se escribe como: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$, donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ representa los coeficientes binomiales.

Estos coeficientes forman el famoso Triángulo de Pascal, donde cada número se obtiene sumando los dos números superiores. Por ejemplo, en la fila n=4, tenemos los coeficientes 1, 4, 6, 4, 1, que corresponden a la expansión de $(a+b)^4$.

Para expansiones de binomios con resta como $(a-b)^n$, la fórmula se modifica ligeramente: $(a-b)^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$. Esto introduce factores negativos en los términos donde el exponente de b es impar.

💡 Truco para recordar: Fíjate que en cada expansión, la suma de los exponentes de a y b siempre es igual a n, y los coeficientes siguen exactamente el patrón del Triángulo de Pascal.

Veamos algunos ejemplos concretos:

• $(a+b)^0 = 1$
• $(a+b)^1 = a+b$
• $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
• $(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$