平均変化率と極限値の基本

平均変化率は関数の変化を測る基本概念だ。関数f(x)がaからbまで変化するとき、平均変化率は$f(b)-f(a)$/$b-a$で求められる。

極限値の計算では、因数分解がカギになることが多い。例えば、lim[x→2] $x²-4$/$x-2$では、分子を$x-2$$x+2$に因数分解してから約分する。

導関数の定義は f'(x) = lim[h→0] $f(x+h)-f(x)$/h だ。この定義を使って基本的な関数の導関数を求める練習が重要だよ。

重要ポイント: 極限計算で分母が0になる場合は、必ず因数分解や有理化で約分できるかチェックしよう！

導関数の公式と接線の方程式

導関数の基本公式をマスターしよう：

• $x^n$' = nx^$n-1$
• $ax+b$' = a
• $x²+3x+2$' = 2x+3

接線の方程式は点(a, f(a))における接線が y-f(a) = f'(a)$x-a$ で表される。接線の傾きは必ずその点での微分係数と等しい。

法線は接線に垂直な直線で、傾きは接線の傾きの負の逆数になる。接線の傾きがmなら、法線の傾きは-1/mだ。

計算のコツ: 接線の方程式を求めるときは、①接点での微分係数を計算 ②点と傾きから直線の方程式を立てる、の順番で進めよう！

共通接線と与えられた点からの接線

共通接線は2つの曲線に同時に接する直線だ。例えば、y=x²とy=x²-2x+3の共通接線を求めるときは、両方の曲線で接線の傾きが等しくなる条件を使う。

与えられた点からの接線では、接点の座標を(a, a²)とおいて、接線の方程式を立てる。その接線が与えられた点を通る条件から、aの値を求める。

計算では因数分解が頻繁に出てくる。$a-1$$2a+1$=0のような形になったら、a=1またはa=-1/2と解ける。

注意: 与えられた点からの接線は通常2本引けることが多い。計算ミスがないよう、両方の解をしっかり確認しよう！

2つの曲線の接触条件

2つの曲線が接するとは、交点で曲線の値と傾きが両方とも等しいことを意味する。y=x²+2x+1とy=2x-1が接する条件では、交点でy座標と微分係数が等しくなる。

接触条件の解法：

1. 2つの関数が等しい：f(x) = g(x)
2. 導関数も等しい：f'(x) = g'(x)

例えば、y=3x²+aとy=2x-1が接するとき、接点をpとすると3p²+a=2p-1かつ6p=2が成り立つ。

理解のポイント: 接触は「交わる」より強い条件。単に交わるだけでなく、その点での「向き」も同じでなければならない！

関数の極値と増減

極値を求めるには、まずf'(x)=0となるxを見つける。そして増減表を作って極大値・極小値を判定しよう。

増減表の書き方：

• f'(x)>0の区間では関数は増加(↗)
• f'(x)<0の区間では関数は減少(↘)
• f'(x)=0の点で極値をとる可能性がある

例えば、f(x)=x³-3x²+2では、f'(x)=3x²-6x=3x$x-2$なので、x=0で極大値、x=2で極小値をとる。

判別式D>0なら異なる2つの実数解をもち、極値が存在する。D≤0なら極値は存在しない。

覚えておこう: f'(x)=0でも極値にならない場合もある。f(x)=x³のx=0のように、増減が変わらない点もあるよ！

最大値・最小値と条件問題

定義域が限られた関数の最大値・最小値では、極値だけでなく端点での値も調べる必要がある。

条件付き最大値・最小値では、制約条件を使って変数を1つに減らす。例えば、x+3y=9, x≥0, y≥0のとき、x²yの最大値を求める問題では、y=$9-x$/3と置換する。

パラメータを含む極値問題：

• a>0のとき、a=0のとき、a<0のときで場合分けして考える
• 極値の存在条件は判別式D>0

文章問題では、条件を数式で表現することから始めよう。制約条件をうまく使って、1変数の関数として最大値・最小値を求める。

実践のコツ: 条件付き問題では、制約条件を使って変数を減らしてから微分するのが基本戦略だ！

不等式の証明と応用問題

不等式の証明では、与えられた不等式をf(x)≥0の形に変形し、f(x)の最小値が0以上であることを示す。

例えば、x>0のときx²-6x+9≥0を証明するには、f(x)=x²-6x+9とおいて最小値を調べる。f'(x)=2x-6=0からx=3で最小値f(3)=0をとる。

方程式の実数解の個数問題では、グラフの交点の個数を調べる。y=2x³+9x²-3とy=aの交点の個数は、左辺の関数の極値とaの大小関係で決まる。

3次方程式の解の個数：極大値>0かつ極小値<0なら3個の異なる実数解をもつ。

証明のポイント: 不等式の証明は「関数の最小値≥0」で考えると分かりやすい。微分を使って最小値を求めよう！

高次方程式の解の個数

3次方程式の実数解の個数を調べるときは、y=f(x)とy=0（または定数）の交点の個数を考える。

f(x)=x³-3px+pの場合：

• 極値が存在する条件：f'(x)=3x²-3p=0が実数解をもつ ⇔ p>0
• 3個の異なる実数解をもつ条件：極大値>0かつ極小値<0

パラメータの範囲を求める問題では、場合分けが重要だ。p≤0のときは単調増加で解は1個、p>0のときは極値の符号で解の個数が決まる。

計算では、f(√p)·f$-√p$<0の形で極値の符号条件を表すことが多い。

解法の流れ: ①導関数を求める ②極値の存在条件を調べる ③極値の符号で解の個数を判定する、の順番で進めよう！

演習問題の解法パターン

この演習問題集には微分法の全範囲が含まれている。平均変化率、極限値、導関数の定義から始まり、接線・法線、極値、最大値・最小値まで網羅的に学べる。

問題の種類と解法：

• 極限値：因数分解で約分
• 接線の方程式：微分係数を求めて点と傾きから
• 極値：f'(x)=0を解いて増減表作成
• 最大値・最小値：極値と端点を比較

応用問題では、文章から数式を立てる力が問われる。条件を整理して、適切な関数を設定することが解法の第一歩だ。

学習のアドバイス: 基本問題から応用問題まで順番に解いて、微分法の全体像を掴もう。パターンを覚えるより、考え方を理解することが大切！