Θα μάθουμε τα βασικά κριτήρια ισότητας τριγώνων και τις ιδιότητες...
Θεωρία Γεωμετρίας για την Α' Λυκείου








Κριτήρια Ισότητας Τριγώνων
Υπάρχουν τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων που σου επιτρέπουν να αποδείξεις ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα. Το πρώτο κριτήριο (πλευρά-γωνία-πλευρά) λέει ότι αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και την περιεχόμενη γωνία ίση, τότε είναι ίσα.
Το δεύτερο κριτήριο (γωνία-πλευρά-γωνία) χρησιμοποιείς όταν έχεις μία πλευρά και τις δύο προσκείμενες γωνίες ίσες. Είναι πολύ χρήσιμο στα ισοσκελή τρίγωνα!
Σε ισοσκελές τρίγωνο με ΑΒ = ΑΓ, η διχοτόμος από την κορυφή Α είναι ταυτόχρονα διάμεσος και ύψος. Επίσης, οι γωνίες της βάσης είναι πάντα ίσες.
Tip: Σε ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες!

Τρίτο Κριτήριο και Ορθογώνια Τρίγωνα
Το τρίτο κριτήριο (πλευρά-πλευρά-πλευρά) είναι το πιο εύκολο - αν δύο τρίγωνα έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Απλό και αποτελεσματικό!
Για ορθογώνια τρίγωνα τα πράγματα γίνονται πιο εύκολα. Αρκεί να βρεις δύο στοιχεία κοινά (εκτός από την ορθή γωνία) για να αποδείξεις ισότητα.
Ένα σημαντικό πόρισμα: αν ΜΑ = ΜΒ, τότε το σημείο Μ βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο του ΑΒ. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος.
Θυμήσου: Στη διχοτόμο γωνίας, κάθε σημείο ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας!

Ευθεία και Κύκλος
Η σχετική θέση ευθείας και κύκλου εξαρτάται από την απόσταση d του κέντρου από την ευθεία. Αν d > ρ (ακτίνα), η ευθεία δεν τέμνει τον κύκλο. Αν d = ρ, η ευθεία είναι εφαπτόμενη του κύκλου.
Όταν d < ρ, η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία. Αυτές οι περιπτώσεις είναι βασικές για να λύσεις προβλήματα με κύκλους.
Για δύο κύκλους, υπάρχουν πέντε δυνατές θέσεις: εσωτερικός ο ένας του άλλου, εφάπτονται εσωτερικά, τέμνονται, εφάπτονται εξωτερικά, ή είναι εξωτερικοί. Η απόσταση των κέντρων καθορίζει τη σχετική θέση.
Σημαντικό: Όταν δύο κύκλοι τέμνονται, η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής!

Παράλληλες Ευθείες και Παραλληλόγραμμα
Όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μία τρίτη, δημιουργούνται ίσες γωνίες: οι εντός εναλλάξ, οι εντός επί τα αυτά, και οι εκτός εναλλάξ είναι ίσες. Αυτό είναι κλειδί για να αποδείξεις παραλληλία!
Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες μία προς μία είναι ίσες (αν είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες). Αν οι πλευρές είναι κάθετες μία προς μία, οι γωνίες είναι πάλι ίσες.
Για να αποδείξεις ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο έχεις τέσσερα κριτήρια: απέναντι πλευρές ίσες, απέναντι γωνίες ίσες, δύο πλευρές παράλληλες και ίσες, ή διαγώνιοι που διχοτομούνται.
Προσοχή: Αρκεί να δείξεις ένα μόνο κριτήριο για να αποδείξεις παραλληλόγραμμο!

Ορθογώνιο, Ρόμβος και Τετράγωνο
Το ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο με μία γωνία ορθή. Έχει όλες τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου plus ίσες διαγωνίους. Για να το αποδείξεις, αρκεί να δείξεις ότι είναι παραλληλόγραμμο με ίσες διαγωνίους ή με ορθή γωνία.
Ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα και διχοτομούν τις γωνίες του. Μπορεις να τον αποδείξεις αν δείξεις όλες τις πλευρές ίσες ή παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους.
Το τετράγωνο συνδυάζει ορθογώνιο και ρόμβο! Έχει όλες τις πλευρές ίσες, όλες τις γωνίες ορθές, και διαγωνίους ίσες που τέμνονται κάθετα. Είναι το πιο "τέλειο" παραλληλόγραμμο.
Κόλπο: Στο τετράγωνο, οι διαγώνιοι είναι ίσες, κάθετες ΚΑΙ διχοτομούν τις γωνίες!

Κριτήρια Τετραγώνου και Τραπέζιο
Για να αποδείξεις τετράγωνο έχεις έξι επιλογές: ορθή γωνία με διαδοχικές πλευρές ίσες, ίσες διαγωνίους που τέμνονται κάθετα, ή διαγώνιος που διχοτομεί γωνία. Διάλεξε την πιο εύκολη για το πρόβλημά σου!
Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ∥ΓΔ, οι ΑΒ και ΓΔ λέγονται βάσεις. Η διάμεσος ΜΝ του τραπεζίου είναι παράλληλη στις βάσεις και ίση με το μέσο όρο τους: ΜΝ = (ΑΒ + ΓΔ)/2.
Το ισοσκελές τραπέζιο έχει τις μη παράλληλες πλευρές ίσες. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και οι γωνίες κάθε βάσης είναι ίσες. Για να το αποδείξεις, αρκεί ένα από αυτά τα τρία κριτήρια.
Φόρμουλα: Στο τραπέζιο, διάμεσος = (μεγάλη βάση + μικρή βάση) ÷ 2

Βασικά Θεωρήματα και Πορίσματα
Το άθροισμα γωνιών τριγώνου είναι πάντα 180°. Αυτό το θεώρημα θα το χρησιμοποιήσεις σε κάθε γεωμετρικό πρόβλημα, οπότε να το θυμάσαι καλά!
Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος από την ορθή γωνία προς την υποτείνουσα ισούται με το μισό της υποτείνουσας. Αντίστροφα, αν μια διάμεσος ισούται με το μισό της αντίστοιχης πλευράς, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Στο τρίγωνο με γωνία 30°, η απέναντι πλευρά είναι το μισό της υποτείνουσας. Αυτό ισχύει και αντίστροφα - αν μια κάθετη πλευρά είναι το μισό της υποτείνουσας, τότε η απέναντι γωνία είναι 30°.
Μυστικό επιτυχίας: Αυτά τα θεωρήματα είναι τα "εργαλεία" σου - μάθε τα καλά και θα λύνεις εύκολα κάθε πρόβλημα!
We thought you’d never ask...
What is the Knowunity AI companion?
Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.
Where can I download the Knowunity app?
You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.
Is Knowunity really free of charge?
That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.
Similar Content
Most popular content in Μαθηματικά
9Ολη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
SOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Μαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα
Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.
Most popular content
9Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
ιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Βιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Ιστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Φυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Ολη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Πληροφορική - Όλη η θεωρία
Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου
Can't find what you're looking for? Explore other subjects.
Students love us — and so will you.
The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.
This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.
Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.
Θεωρία Γεωμετρίας για την Α' Λυκείου
Θα μάθουμε τα βασικά κριτήρια ισότητας τριγώνων και τις ιδιότητες των παραλληλογράμμων - στοιχεία που είναι κλειδί για να λύσεις γεωμετρικά προβλήματα. Αυτή η ύλη είναι από τις πιο σημαντικές στη γεωμετρία και θα τη συναντήσεις συχνά στις εξετάσεις!

Κριτήρια Ισότητας Τριγώνων
Υπάρχουν τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων που σου επιτρέπουν να αποδείξεις ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα. Το πρώτο κριτήριο (πλευρά-γωνία-πλευρά) λέει ότι αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και την περιεχόμενη γωνία ίση, τότε είναι ίσα.
Το δεύτερο κριτήριο (γωνία-πλευρά-γωνία) χρησιμοποιείς όταν έχεις μία πλευρά και τις δύο προσκείμενες γωνίες ίσες. Είναι πολύ χρήσιμο στα ισοσκελή τρίγωνα!
Σε ισοσκελές τρίγωνο με ΑΒ = ΑΓ, η διχοτόμος από την κορυφή Α είναι ταυτόχρονα διάμεσος και ύψος. Επίσης, οι γωνίες της βάσης είναι πάντα ίσες.
Tip: Σε ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες!

Τρίτο Κριτήριο και Ορθογώνια Τρίγωνα
Το τρίτο κριτήριο (πλευρά-πλευρά-πλευρά) είναι το πιο εύκολο - αν δύο τρίγωνα έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Απλό και αποτελεσματικό!
Για ορθογώνια τρίγωνα τα πράγματα γίνονται πιο εύκολα. Αρκεί να βρεις δύο στοιχεία κοινά (εκτός από την ορθή γωνία) για να αποδείξεις ισότητα.
Ένα σημαντικό πόρισμα: αν ΜΑ = ΜΒ, τότε το σημείο Μ βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο του ΑΒ. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος.
Θυμήσου: Στη διχοτόμο γωνίας, κάθε σημείο ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας!

Ευθεία και Κύκλος
Η σχετική θέση ευθείας και κύκλου εξαρτάται από την απόσταση d του κέντρου από την ευθεία. Αν d > ρ (ακτίνα), η ευθεία δεν τέμνει τον κύκλο. Αν d = ρ, η ευθεία είναι εφαπτόμενη του κύκλου.
Όταν d < ρ, η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία. Αυτές οι περιπτώσεις είναι βασικές για να λύσεις προβλήματα με κύκλους.
Για δύο κύκλους, υπάρχουν πέντε δυνατές θέσεις: εσωτερικός ο ένας του άλλου, εφάπτονται εσωτερικά, τέμνονται, εφάπτονται εξωτερικά, ή είναι εξωτερικοί. Η απόσταση των κέντρων καθορίζει τη σχετική θέση.
Σημαντικό: Όταν δύο κύκλοι τέμνονται, η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής!

Παράλληλες Ευθείες και Παραλληλόγραμμα
Όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μία τρίτη, δημιουργούνται ίσες γωνίες: οι εντός εναλλάξ, οι εντός επί τα αυτά, και οι εκτός εναλλάξ είναι ίσες. Αυτό είναι κλειδί για να αποδείξεις παραλληλία!
Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες μία προς μία είναι ίσες (αν είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες). Αν οι πλευρές είναι κάθετες μία προς μία, οι γωνίες είναι πάλι ίσες.
Για να αποδείξεις ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο έχεις τέσσερα κριτήρια: απέναντι πλευρές ίσες, απέναντι γωνίες ίσες, δύο πλευρές παράλληλες και ίσες, ή διαγώνιοι που διχοτομούνται.
Προσοχή: Αρκεί να δείξεις ένα μόνο κριτήριο για να αποδείξεις παραλληλόγραμμο!

Ορθογώνιο, Ρόμβος και Τετράγωνο
Το ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο με μία γωνία ορθή. Έχει όλες τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου plus ίσες διαγωνίους. Για να το αποδείξεις, αρκεί να δείξεις ότι είναι παραλληλόγραμμο με ίσες διαγωνίους ή με ορθή γωνία.
Ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα και διχοτομούν τις γωνίες του. Μπορεις να τον αποδείξεις αν δείξεις όλες τις πλευρές ίσες ή παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους.
Το τετράγωνο συνδυάζει ορθογώνιο και ρόμβο! Έχει όλες τις πλευρές ίσες, όλες τις γωνίες ορθές, και διαγωνίους ίσες που τέμνονται κάθετα. Είναι το πιο "τέλειο" παραλληλόγραμμο.
Κόλπο: Στο τετράγωνο, οι διαγώνιοι είναι ίσες, κάθετες ΚΑΙ διχοτομούν τις γωνίες!

Κριτήρια Τετραγώνου και Τραπέζιο
Για να αποδείξεις τετράγωνο έχεις έξι επιλογές: ορθή γωνία με διαδοχικές πλευρές ίσες, ίσες διαγωνίους που τέμνονται κάθετα, ή διαγώνιος που διχοτομεί γωνία. Διάλεξε την πιο εύκολη για το πρόβλημά σου!
Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ∥ΓΔ, οι ΑΒ και ΓΔ λέγονται βάσεις. Η διάμεσος ΜΝ του τραπεζίου είναι παράλληλη στις βάσεις και ίση με το μέσο όρο τους: ΜΝ = (ΑΒ + ΓΔ)/2.
Το ισοσκελές τραπέζιο έχει τις μη παράλληλες πλευρές ίσες. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και οι γωνίες κάθε βάσης είναι ίσες. Για να το αποδείξεις, αρκεί ένα από αυτά τα τρία κριτήρια.
Φόρμουλα: Στο τραπέζιο, διάμεσος = (μεγάλη βάση + μικρή βάση) ÷ 2

Βασικά Θεωρήματα και Πορίσματα
Το άθροισμα γωνιών τριγώνου είναι πάντα 180°. Αυτό το θεώρημα θα το χρησιμοποιήσεις σε κάθε γεωμετρικό πρόβλημα, οπότε να το θυμάσαι καλά!
Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος από την ορθή γωνία προς την υποτείνουσα ισούται με το μισό της υποτείνουσας. Αντίστροφα, αν μια διάμεσος ισούται με το μισό της αντίστοιχης πλευράς, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Στο τρίγωνο με γωνία 30°, η απέναντι πλευρά είναι το μισό της υποτείνουσας. Αυτό ισχύει και αντίστροφα - αν μια κάθετη πλευρά είναι το μισό της υποτείνουσας, τότε η απέναντι γωνία είναι 30°.
Μυστικό επιτυχίας: Αυτά τα θεωρήματα είναι τα "εργαλεία" σου - μάθε τα καλά και θα λύνεις εύκολα κάθε πρόβλημα!
We thought you’d never ask...
What is the Knowunity AI companion?
Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.
Where can I download the Knowunity app?
You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.
Is Knowunity really free of charge?
That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.
Similar Content
Most popular content in Μαθηματικά
9Ολη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
SOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Μαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα
Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.
Most popular content
9Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
ιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Βιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Ιστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Φυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Ολη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Πληροφορική - Όλη η θεωρία
Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου
Can't find what you're looking for? Explore other subjects.
Students love us — and so will you.
The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.
This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.
Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.