Μαθηματικά886 views·Updated Jun 21, 2026·10 pages

Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Εισαγωγή στο Πρώτο Κεφάλαιο

Ευθύμης@_sn98w

Add to Google sources

Οι συναρτήσεις και τα όρια είναι από τα πιο σημαντικά...

1 / 10

of 10

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΑΤ' ΑΛΛΑ

ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

|a|=
2a; azo
L-a, aco

1. 1

ⅰ) |a|² = a² iⅱ) √at = |a|, ¡¡ⅲ) |ab|=a+b
iv) |9/6| = 21/18 V) 12-6La+ba+

Μονοτονία και Ακρότατα Συναρτήσεων

Η γνησίως αύξουσα συνάρτηση είναι αυτή που όσο προχωράς προς τα δεξιά, η γραφική της παράσταση "ανεβαίνει" συνεχώς. Μαθηματικά: αν x₁ < x₂, τότε f(x₁) < f(x₂).

Αντίθετα, η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση "κατεβαίνει" καθώς προχωράς δεξιά. Δηλαδή: αν x₁ < x₂, τότε f(x₁) > f(x₂). Αυτές οι έννοιες είναι κλειδί για να καταλάβεις πότε μια συνάρτηση έχει μέγιστα και ελάχιστα.

Τα ακρότατα είναι τα υψηλότερα και χαμηλότερα σημεία της συνάρτησης. Το ολικό μέγιστο f(x₀) σημαίνει ότι f(x) ≤ f(x₀) για όλα τα x. Το ολικό ελάχιστο είναι το αντίθετο: f(x) ≥ f(x₀).

Σημαντικό: Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (αύξουσα ή φθίνουσα), τότε είναι αυτόματα 1-1!

of 10

Αντίστροφες Συναρτήσεις και Βασικά Όρια

Η αντίστροφη συνάρτηση f⁻¹ είναι σαν να "αντιστρέφεις" τη διαδικασία της αρχικής συνάρτησης. Αν f(x) = y, τότε f⁻¹(y) = x. Οι γραφικές παραστάσεις των f και f⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο y = x.

Τα όρια μετρούν προς ποια τιμή "τείνει" μια συνάρτηση καθώς το x πλησιάζει κάποια τιμή x₀. Το κλειδί είναι ότι δεν μας ενδιαφέρει τι γίνεται ακριβώς στο x₀, αλλά τι συμβαίνει γύρω από αυτό το σημείο.

Μερικοί βασικοί κανόνες που πρέπει να θυμάσαι: lim(x→x₀) x = x₀ και lim(x→x₀) C = C για οποιαδήποτε σταθερά C. Επίσης, αν το όριο είναι θετικό, η συνάρτηση είναι θετική κοντά στο x₀.

Προσοχή: Το όριο μπορεί να υπάρχει ακόμα και αν η συνάρτηση δεν είναι ορισμένη στο x₀!

of 10

Πράξεις με Όρια και Κριτήριο Παρεμβολής

Τα όρια "συμπεριφέρονται καλά" με τις βασικές πράξεις. Μπορείς να προσθέτεις, να αφαιρείς, να πολλαπλασιάζεις και να διαιρείς όρια - το όριο του αθροίσματος ισούται με το άθροισma των ορίων, κ.ο.κ.

Προσοχή στη διαίρεση: το όριο του πηλίκου ισούται με το πηλίκο των ορίων μόνο αν το όριο του παρονομαστή δεν είναι μηδέν. Αλλιώς έχεις απροσδιόριστη μορφή που χρειάζεται ειδική αντιμετώπιση.

Το κριτήριο παρεμβολής είναι εργαλείο για δύσκολα όρια. Αν g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) και τα όρια των g, h στο x₀ είναι ίδια (ας πούμε l), τότε και το όριο της f είναι l. Σαν να "στριμώχνεις" τη συνάρτηση ανάμεσα σε δύο άλλες.

Χρήσιμο: Το |sin x| ≤ |x| θα σε σώσει σε πολλά προβλήματα με τριγωνομετρικά όρια!

of 10

Τριγωνομετρικά Όρια - Θεμελιώδεις Τύποι

Δύο από τα πιο σημαντικά όρια που πρέπει να ξέρεις απ' έξω: lim(x→0) (sin x)/x = 1 και lim(x→0) $cos x - 1$ /x = 0. Αυτά είναι η βάση για όλα τα τριγωνομετρικά όρια που θα συναντήσεις.

Η απόδειξη χρησιμοποιεί το κριτήριο παρεμβολής με την ανισότητα |sin x| ≤ |x|. Πρώτα αποδεικνύουμε ότι lim(x→0) sin x = 0, μετά χρησιμοποιούμε την ταυτότητα cos²x + sin²x = 1 για να βρούμε το όριο του συνημίτονου.

Η συνέχεια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων προκύπτει από αυτά τα όρια. Μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο όταν το όριό της εκεί ισούται με την τιμή της - και αυτό ισχύει για τις sin x και cos x παντού.

Προσοχή: Αυτοί οι τύποι ισχύουν μόνο όταν το x μετράται σε ακτίνια, όχι σε μοίρες!

of 10

Σύνθετες Συναρτήσεις και Άπειρα Όρια

Για τα όρια σύνθετων συναρτήσεων (fog), ακολουθείς μια απλή διαδικασία: θέτεις u = g(x), βρίσκεις το όριο u₀ = lim(x→x₀) g(x), και μετά υπολογίζεις lim(u→u₀) f(u). Προσοχή όμως - αυτή η μέθοδος δουλεύει μόνο υπό συγκεκριμένες συνθήκες!

Τα άπειρα όρια (+∞, -∞) εμφανίζονται συχνά σε κλάσματα όπου ο παρονομαστής τείνει στο μηδέν. Αν lim f(x) = +∞, τότε lim $1/f(x)$ = 0. Αντίστροφα, αν lim f(x) = 0 και f(x) > 0 κοντά στο x₀, τότε lim $1/f(x)$ = +∞.

Οι απροσδιόριστες μορφές όπως 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞ χρειάζονται ειδική προσέγγιση - δεν μπορείς να τις υπολογίσεις άμεσα με τους κανόνες των ορίων.

Βασικό: lim(x→0⁺) 1/x = +∞ αλλά lim(x→0⁻) 1/x = -∞, οπότε lim(x→0) 1/x δεν υπάρχει!

of 10

Όρια στο Άπειρο - Πολυώνυμα και Εκθετικές

Όταν το x τείνει στο +∞ ή -∞, τα πολυώνυμα συμπεριφέρονται όπως ο όρος υψηλότερου βαθμού τους. Για το P(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀, ισχύει lim(x→±∞) P(x) = lim(x→±∞) aₙxⁿ.

Για κλάσματα πολυωνύμων, συγκρίνεις τους όρους υψηλότερου βαθμού του αριθμητή και παρονομαστή. Αν έχουν τον ίδιο βαθμό, το όριο είναι ο λόγος των συντελεστών. Αν ο αριθμητής έχει μεγαλύτερο βαθμό, το όριο είναι ±∞.

Οι εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις έχουν συγκεκριμένη συμπεριφορά. Για a > 1: lim $x→+∞$ aˣ = +∞ και lim $x→-∞$ aˣ = 0. Για 0 < a < 1 η συμπεριφορά αντιστρέφεται.

Σημείωση: Οι εκθετικές "μεγαλώνουν" γρηγορότερα από οποιοδήποτε πολυώνυμο στο +∞!

of 10

Θεώρημα Bolzano - Εύρεση Ριζών

Το θεώρημα Bolzano είναι ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία για να αποδείξεις ότι μια εξίσωση έχει λύση. Λέει ότι αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [a,b] και f(a)·f(b) < 0 (δηλαδή έχουν αντίθετα πρόσημα), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο x₀ στο (a,b) όπου f(x₀) = 0.

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f "διασχίζει" τον άξονα x κάπου ανάμεσα στα a και b. Είναι λογικό: αν ξεκινάς από ένα θετικό σημείο και καταλήγεις σε αρνητικό (ή αντίστροφα) χωρίς να "πηδήξεις", πρέπει να περάσεις από το μηδέν.

Μια σημαντική συνέπεια: αν μια συνεχής συνάρτηση δεν μηδενίζεται σε ένα διάστημα, τότε διατηρεί το ίδιο πρόσημο σε όλο το διάστημα - είτε είναι πάντα θετική είτε πάντα αρνητική.

Πρακτικά: Για να βρεις αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει λύση, υπολόγισε f σε δύο σημεία και δες αν έχουν αντίθετα πρόσημα!

of 10

Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών

Το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών είναι η γενίκευση του Bolzano. Λέει ότι μια συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα [a,b] παίρνει όλες τις τιμές ανάμεσα στα f(a) και f(b). Για οποιονδήποτε αριθμό η μεταξύ f(a) και f(b), υπάρχει x₀ στο (a,b) με f(x₀) = η.

Η απόδειξη είναι έξυπνη: μετασχηματίζουμε το πρόβλημα σε εύρεση ρίζας θεωρώντας g(x) = f(x) - η. Αν f(a) < η < f(b), τότε g(a) < 0 και g(b) > 0, οπότε εφαρμόζουμε Bolzano.

Αυτό το θεώρημα εξηγεί γιατί οι συνεχείς συναρτήσεις δεν έχουν "κενά" στις τιμές τους. Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και παίρνει τιμές 2 και 5, τότε κάπου παίρνει και την τιμή 3.14159...

Εφαρμογή: Χρησιμοποίησε το θεώρημα για να αποδείξεις ότι εξισώσεις όπως x³ + x - 1 = 0 έχουν λύση!

of 10

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user

Μαθηματικά886 views·Updated Jun 21, 2026·10 pages

Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Εισαγωγή στο Πρώτο Κεφάλαιο

Ευθύμης@_sn98w

Add to Google sources

Οι συναρτήσεις και τα όρια είναι από τα πιο σημαντικά κομμάτια των μαθηματικών που θα συναντήσεις στη Γ' Λυκείου. Εδώ θα δεις όλα όσα χρειάζεσαι να ξέρεις για τη μονοτονία, τα ακρότατα, τις αντίστροφες συναρτήσεις και τα όρια - με...

of 10

Μονοτονία και Ακρότατα Συναρτήσεων

Σημαντικό: Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (αύξουσα ή φθίνουσα), τότε είναι αυτόματα 1-1!

of 10

Αντίστροφες Συναρτήσεις και Βασικά Όρια

Προσοχή: Το όριο μπορεί να υπάρχει ακόμα και αν η συνάρτηση δεν είναι ορισμένη στο x₀!

of 10

Πράξεις με Όρια και Κριτήριο Παρεμβολής

Χρήσιμο: Το |sin x| ≤ |x| θα σε σώσει σε πολλά προβλήματα με τριγωνομετρικά όρια!

of 10

Τριγωνομετρικά Όρια - Θεμελιώδεις Τύποι

Προσοχή: Αυτοί οι τύποι ισχύουν μόνο όταν το x μετράται σε ακτίνια, όχι σε μοίρες!

of 10

Σύνθετες Συναρτήσεις και Άπειρα Όρια

Βασικό: lim(x→0⁺) 1/x = +∞ αλλά lim(x→0⁻) 1/x = -∞, οπότε lim(x→0) 1/x δεν υπάρχει!

of 10

Όρια στο Άπειρο - Πολυώνυμα και Εκθετικές

Σημείωση: Οι εκθετικές "μεγαλώνουν" γρηγορότερα από οποιοδήποτε πολυώνυμο στο +∞!

of 10

Θεώρημα Bolzano - Εύρεση Ριζών

Πρακτικά: Για να βρεις αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει λύση, υπολόγισε f σε δύο σημεία και δες αν έχουν αντίθετα πρόσημα!

of 10

Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών

Εφαρμογή: Χρησιμοποίησε το θεώρημα για να αποδείξεις ότι εξισώσεις όπως x³ + x - 1 = 0 έχουν λύση!

of 10