Μαθηματικά (Θετ.)1,153 views·Updated Jun 28, 2026·29 pages

Μαθηματική Θεωρία Γ' Λυκείου - Ολοκληρωμένος Οδηγός

Ευαγγελία Γιακουμιδου@_f1jff

Add to Google sources

Οι συναρτήσεις είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια των...

1 / 10

of 10

# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού

Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων

1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α;

Απάντηση

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων

Μια συνάρτηση f είναι ουσιαστικά ένας κανόνας που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο x του πεδίου ορισμού A σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό f(x). Φαντάσου την ως μια μηχανή που παίρνει μια είσοδο και δίνει μια έξοδο.

Το πεδίο ορισμού συμβολίζεται με Df και περιέχει όλες τις επιτρεπτές τιμές του x. Το σύνολο τιμών f(A) περιέχει όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση.

Η γραφική παράσταση Cf αποτελείται από όλα τα σημεία M(x,f(x)) του επιπέδου. Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο - αυτό διακρίνει τις συναρτήσεις από άλλες καμπύλες όπως ο κύκλος.

Προσοχή: Όταν δίνεται γραφικά μια συνάρτηση, το πεδίο ορισμού είναι οι τετμημένες και το σύνολο τιμών είναι οι τεταγμένες των σημείων της καμπύλης.

of 10

Γραφικές Παραστάσεις και Μετασχηματισμοί

Αν έχεις τη γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f, μπορείς εύκολα να σχεδιάσεις και άλλες συναρτήσεις. Η -f(x) είναι συμμετρική της f ως προς τον άξονα x'x - απλά "αναποδογυρίζεις" τη γραφική παράσταση.

Η |f(x)| κρατά τα θετικά τμήματα της Cf όπως είναι, αλλά τα αρνητικά τμήματα τα "ανεβάζει" πάνω από τον άξονα x (τα κάνει συμμετρικά ως προς τον άξονα).

Για να βρεις την τιμή f(x₀), σχεδιάζεις την κατακόρυφη ευθεία x = x₀ και βλέπεις πού τέμνει τη Cf. Η τεταγμένη του σημείου τομής είναι η ζητούμενη τιμή.

Συμβουλή: Στις εξετάσεις συχνά ζητούν να διαβάσεις στοιχεία της συνάρτησης από τη γραφική της παράσταση. Εξασκήσου σε αυτό!

of 10

Βασικές Συναρτήσεις που Πρέπει να Ξέρεις

Υπάρχουν κάποιες βασικές συναρτήσεις των οποίων τις γραφικές παραστάσεις πρέπει να ξέρεις απ' έξω. Η γραμμική f(x) = ax + β είναι ευθεία με κλίση a.

Η παραβολή f(x) = ax² (a≠0) ανοίγει προς τα πάνω αν a>0 και προς τα κάτω αν a<0. Η κυβική f(x) = ax³ περνά από την αρχή των αξόνων και έχει S-σχήμα.

Η υπερβολή f(x) = a/x (a≠0) έχει ασύμπτωτες τους άξονες x'x και y'y. Οι ριζικές συναρτήσεις √x ορίζονται για x≥0.

Σημαντικό: Αυτές οι βασικές γραφικές παραστάσεις είναι το θεμέλιο για πιο σύνθετες συναρτήσεις. Εξασκήσου στο σκίτσο τους!

of 10

Τριγωνικές και Εκθετικές Συναρτήσεις

Οι τριγωνικές συναρτήσεις ημx, συνx, εφx έχουν συγκεκριμένες περιόδους και γραφικές παραστάσεις που επαναλαμβάνονται. Το ημx και συνx κυμαίνονται μεταξύ -1 και 1, ενώ η εφx έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.

Η εκθετική συνάρτηση f(x) = aˣ (0<a≠1) είναι πάντα θετική και περνά από το σημείο (0,1). Αν a>1, η συνάρτηση αυξάνει, αν 0<a<1 φθίνει.

Η λογαριθμική συνάρτηση f(x) = log_a x είναι αντίστροφη της εκθετικής. Ορίζεται για x>0 και περνά από το (1,0). Οι γραφικές τους είναι συμμετρικές ως προς την y = x.

Για τις εξετάσεις: Οι τριγωνικές και εκθετικές συναρτήσεις εμφανίζονται πολύ συχνά σε ασκήσεις ορίων και παραγώγων.

of 10

Σύνθεση και Ιδιότητες Συναρτήσεων

Η σύνθεση συναρτήσεων (g∘f)(x) = g(f(x)) δημιουργεί μια νέα συνάρτηση εφαρμόζοντας πρώτα την f και μετά την g. Το πεδίο ορισμού περιλαμβάνει τα x για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g.

Μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) < f(x₂). Είναι γνησίως φθίνουσα όταν για x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) > f(x₂).

Μια συνάρτηση είναι 1-1 όταν διαφορετικές τιμές του x δίνουν διαφορετικές τιμές της f(x). Γραφικά, κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο.

Βασική αρχή: Μια συνάρτηση αντιστρέφεται μόνο αν είναι 1-1. Η γραφική παράσταση της αντίστροφης είναι συμμετρική ως προς την y = x.

of 10

Όρια Συναρτήσεων - Βασικές Έννοιες

Το όριο lim(x→x₀) f(x) = ℓ εκφράζει τη συμπεριφορά της συνάρτησης όταν το x πλησιάζει το x₀. Σημαντικό: δεν μας ενδιαφέρει τι γίνεται ακριβώς στο x₀, αλλά τι γίνεται "γύρω" από αυτό.

Τα πλευρικά όρια εξετάζουν την προσέγγιση από αριστερά (x→x₀⁻) και από δεξιά (x→x₀⁺). Το όριο υπάρχει μόνο αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα.

Για τα όρια ισχύουν βασικές ιδιότητες: το όριο αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ορίων, το όριο γινομένου με το γινόμενο των ορίων (όταν υπάρχουν).

Κλειδί επιτυχίας: Μάθε τις ιδιότητες των ορίων καλά - χωρίς αυτές δε μπορείς να λύσεις καμία άσκηση!

of 10

Ιδιότητες και Θεωρήματα Ορίων

Το θεώρημα πρόσημου λέει ότι αν lim f(x) > 0, τότε f(x) > 0 κοντά στο x₀. Αντίστοιχα για αρνητικά όρια.

Το κριτήριο παρεμβολής είναι ισχυρό εργαλείο: αν h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x₀ και lim h(x) = lim g(x) = ℓ, τότε και lim f(x) = ℓ.

Για πολυωνυμικές συναρτήσεις P(x): lim(x→x₀) P(x) = P(x₀). Για ρητές συναρτήσεις f(x) = P(x)/Q(x): lim f(x) = P(x₀)/Q(x₀), εφόσον Q(x₀) ≠ 0.

Σημαντικά τριγωνομετρικά όρια: lim(x→0) $ημx/x$ = 1 και lim(x→0) $συνx-1$ /x = 0. Αυτά τα χρησιμοποιείς συνέχεια!

of 10

Υπολογισμός Ορίων - Πρακτικές Τεχνικές

Για το όριο σύνθετης συνάρτησης f(g(x)), θέτουμε u = g(x) και υπολογίζουμε πρώτα u₀ = lim g(x), μετά lim f(u) όταν u→u₀.

Όταν έχουμε απροσδιόριστη μορφή 0/0, συνήθως παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή για να απαλείψουμε τους κοινούς παράγοντες που δημιουργούν το πρόβλημα.

Για όρια της μορφής ∞/∞, διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με την υψηλότερη δύναμη του x που εμφανίζεται.

Χρήσιμη τεχνική: Όταν έχεις ρίζες, δοκίμασε τον συζυγή για να ξεφύγεις από απροσδιόριστες μορφές!

of 10

Άπειρα Όρια και Ιδιότητες

Τα άπειρα όρια περιγράφουν συμπεριφορές όπου η συνάρτηση "εκρήγνυται" προς +∞ ή -∞. Αν lim f(x) = +∞, τότε f(x) > 0 κοντά στο x₀.

Για αθροίσματα με άπειρα όρια: (+∞) + α = +∞, (-∞) + α = -∞, αλλά (+∞) + (-∞) είναι απροσδιόριστη μορφή.

Για γινόμενα: αν α > 0 και lim g(x) = +∞, τότε lim (α·g(x)) = +∞. Προσοχή στις απροσδιόριστες μορφές 0·(±∞).

Προσοχή στις παγίδες: Οι μορφές 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞ είναι απροσδιόριστες και χρειάζονται ειδική αντιμετώπιση.

of 10

Όρια στο Άπειρο

Για πολυωνυμικές συναρτήσεις P(x) = αₙxⁿ + ... + α₀: lim(x→±∞) P(x) = lim(x→±∞) αₙxⁿ. Δηλαδή, κυριαρχεί ο όρος υψηλότερου βαθμού.

Για ρητές συναρτήσεις f(x) = P(x)/Q(x): το όριο στο άπειρο εξαρτάται από τη σχέση των βαθμών αριθμητή και παρονομαστή.

Οι εκθετικές συναρτήσεις αx με α > 1: lim $x→-∞$ αx = 0, lim $x→+∞$ αx = +∞. Για 0 < α < 1 συμβαίνει το αντίστροφο.

Στρατηγική για εξετάσεις: Στα όρια προς το άπειρο, εστίασε στους κυρίαρχους όρους και αγνόησε τους μικρότερης τάξης!

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user

Μαθηματικά (Θετ.)1,153 views·Updated Jun 28, 2026·29 pages

Μαθηματική Θεωρία Γ' Λυκείου - Ολοκληρωμένος Οδηγός

Ευαγγελία Γιακουμιδου@_f1jff

Add to Google sources

Οι συναρτήσεις είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια των μαθηματικών προσανατολισμού που θα συναντήσεις συνέχεια στις εξετάσεις. Αυτή η θεωρία καλύπτει όλα τα βασικά που πρέπει να ξέρεις - από τις γραφικές παραστάσεις μέχρι τα όρια συναρτήσεων.

of 10

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων

Προσοχή: Όταν δίνεται γραφικά μια συνάρτηση, το πεδίο ορισμού είναι οι τετμημένες και το σύνολο τιμών είναι οι τεταγμένες των σημείων της καμπύλης.

of 10

Γραφικές Παραστάσεις και Μετασχηματισμοί

Συμβουλή: Στις εξετάσεις συχνά ζητούν να διαβάσεις στοιχεία της συνάρτησης από τη γραφική της παράσταση. Εξασκήσου σε αυτό!

of 10

Βασικές Συναρτήσεις που Πρέπει να Ξέρεις

Η υπερβολή f(x) = a/x (a≠0) έχει ασύμπτωτες τους άξονες x'x και y'y. Οι ριζικές συναρτήσεις √x ορίζονται για x≥0.

Σημαντικό: Αυτές οι βασικές γραφικές παραστάσεις είναι το θεμέλιο για πιο σύνθετες συναρτήσεις. Εξασκήσου στο σκίτσο τους!

of 10

Τριγωνικές και Εκθετικές Συναρτήσεις

Για τις εξετάσεις: Οι τριγωνικές και εκθετικές συναρτήσεις εμφανίζονται πολύ συχνά σε ασκήσεις ορίων και παραγώγων.

of 10

Σύνθεση και Ιδιότητες Συναρτήσεων

Βασική αρχή: Μια συνάρτηση αντιστρέφεται μόνο αν είναι 1-1. Η γραφική παράσταση της αντίστροφης είναι συμμετρική ως προς την y = x.

of 10

Όρια Συναρτήσεων - Βασικές Έννοιες

Κλειδί επιτυχίας: Μάθε τις ιδιότητες των ορίων καλά - χωρίς αυτές δε μπορείς να λύσεις καμία άσκηση!

of 10

Ιδιότητες και Θεωρήματα Ορίων

Το θεώρημα πρόσημου λέει ότι αν lim f(x) > 0, τότε f(x) > 0 κοντά στο x₀. Αντίστοιχα για αρνητικά όρια.

Σημαντικά τριγωνομετρικά όρια: lim(x→0) $ημx/x$ = 1 και lim(x→0) $συνx-1$ /x = 0. Αυτά τα χρησιμοποιείς συνέχεια!

of 10

Υπολογισμός Ορίων - Πρακτικές Τεχνικές

Για το όριο σύνθετης συνάρτησης f(g(x)), θέτουμε u = g(x) και υπολογίζουμε πρώτα u₀ = lim g(x), μετά lim f(u) όταν u→u₀.

Για όρια της μορφής ∞/∞, διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με την υψηλότερη δύναμη του x που εμφανίζεται.

Χρήσιμη τεχνική: Όταν έχεις ρίζες, δοκίμασε τον συζυγή για να ξεφύγεις από απροσδιόριστες μορφές!

of 10

Άπειρα Όρια και Ιδιότητες

Για αθροίσματα με άπειρα όρια: (+∞) + α = +∞, (-∞) + α = -∞, αλλά (+∞) + (-∞) είναι απροσδιόριστη μορφή.

Για γινόμενα: αν α > 0 και lim g(x) = +∞, τότε lim (α·g(x)) = +∞. Προσοχή στις απροσδιόριστες μορφές 0·(±∞).

Προσοχή στις παγίδες: Οι μορφές 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞ είναι απροσδιόριστες και χρειάζονται ειδική αντιμετώπιση.

of 10

Όρια στο Άπειρο

Οι εκθετικές συναρτήσεις αx με α > 1: lim $x→-∞$ αx = 0, lim $x→+∞$ αx = +∞. Για 0 < α < 1 συμβαίνει το αντίστροφο.

Στρατηγική για εξετάσεις: Στα όρια προς το άπειρο, εστίασε στους κυρίαρχους όρους και αγνόησε τους μικρότερης τάξης!