Μαθηματικά (Θετ.)484 views·Updated Jun 26, 2026·4 pages

Εύκολη Θεωρία για Διανύσματα Β’ Λυκείου

Βάγια Τσεμπερλίδου@_gzxbt

Add to Google sources

Τα διανύσματα είναι ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία των...

1 / 4

of 4

# Διανύσματα

Ορισμός -- Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο
ευθύγραμμο τμήμα

A
αρχή

Μέτρο : ΓΑΒΙ

B
AB
πέρας

•Αν TAB=1 τότε ΑΒ μοναδια

Τι είναι τα Διανύσματα

Φαντάσου ότι θέλεις να εξηγήσεις σε κάποιον πώς να πάει από το σπίτι του στο σχολείο. Δεν αρκεί να πεις μόνο την απόσταση - χρειάζεσαι και την κατεύθυνση. Αυτό ακριβώς κάνει ένα διάνυσμα: είναι ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα που έχει αρχή, πέρας και συγκεκριμένη φορά.

Το μέτρο ενός διανύσματος ΑΒ γράφεται |ΑΒ| και δείχνει το μήκος του. Όταν το μέτρο είναι 1, το διάνυσμα λέγεται μοναδιαίο. Το μηδενικό διάνυσμα είναι η ιδιαίτερη περίπτωση όπου η αρχή και το πέρας συμπίπτουν.

Τα διανύσματα μπορεί να είναι ομόρροπα (ίδια κατεύθυνση και φορά), αντίρροπα (ίδια κατεύθυνση, αντίθετη φορά), ίσα (όλα τα παραπάνω συν ίσα μέτρα), ή αντίθετα (ίσα μέτρα αλλά αντίθετη φορά).

Σημείωση: Το αντίθετο του διανύσματος ΑΒ γράφεται -ΑΒ και ισούται με το ΒΑ.

of 4

Γωνίες και Βασικές Ιδιότητες

Η γωνία δύο διανυσμάτων μετριέται πάντα από 0° έως 180° (ή από 0 έως π ακτίνια). Αυτό είναι κλειδί για να καταλάβεις πώς "συνεργάζονται" δύο διανύσματα μεταξύ τους.

Κάποιες σημαντικές ιδιότητες του μέτρου: το μέτρο είναι πάντα θετικό ή μηδέν, και μόνο το μηδενικό διάνυσμα έχει μέτρο μηδέν. Επίσης, ένα διάνυσμα και το αντίθετό του έχουν το ίδιο μέτρο.

Από τη γωνία των διανυσμάτων προκύπτουν χρήσιμες σχέσεις: όταν η γωνία είναι 0° τα διανύσματα είναι ομόρροπα, όταν είναι 180° είναι αντίρροπα, και όταν είναι 90° είναι κάθετα.

Tip: Η γωνία 90° (ή π/2 ακτίνια) είναι ιδιαίτερα σημαντική γιατί δημιουργεί κάθετα διανύσματα!

of 4

Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων

Η πρόσθεση διανυσμάτων γίνεται με δύο τρόπους: είτε βάζεις τα διανύσματα διαδοχικά (η αρχή του ενός στο πέρας του άλλου), είτε με τον κανόνα του παραλληλογράμμου όταν έχουν κοινή αρχή. Και στις δύο περιπτώσεις παίρνεις το ίδιο αποτέλεσμα.

Ένα βασικό πλεονέκτημα: η πρόσθεση διανυσμάτων είναι αντιμεταθετική, δηλαδή α + β = β + α. Αυτό σου κάνει τους υπολογισμούς πολύ πιο εύκολους.

Η αφαίρεση είναι απλή όταν την καταλάβεις: α - β = α + (-β). Δηλαδή προσθέτεις το αντίθετο διάνυσμα. Πρακτικά σημαίνει ότι αντιστρέφεις τη φορά του β και μετά κάνεις πρόσθεση.

Θυμήσου: Κάθε διάνυσμα γράφεται ως "διανυσματική ακτίνα πέρατος μείον διανυσματική ακτίνα αρχής".

of 4

Πολλαπλασιασμός με Αριθμό

Όταν πολλαπλασιάζεις έναν αριθμό με διάνυσμα, αλλάζεις το μέγεθός του αλλά όχι απαραίτητα την κατεύθυνσή του. Αν ο αριθμός είναι θετικός, η κατεύθυνση μένει ίδια. Αν είναι αρνητικός, η κατεύθυνση αντιστρέφεται.

Αυτή η ιδέα μας οδηγεί στη συνθήκη παραλληλίας: δύο διανύσματα α και β είναι παράλληλα αν και μόνο αν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου, δηλαδή α = λβ για κάποιο αριθμό λ.

Ένα χρήσιμο λήμμα που θα χρησιμοποιείς συχνά: αν το Μ είναι μέσο του ΑΒ, τότε ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ)/2 για οποιοδήποτε σημείο αναφοράς Ο. Αυτός ο τύπος του "μέσου" είναι πολύ πρακτικός!

Προσοχή: Όταν λες ότι ένα διάνυσμα "γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός" άλλων, εννοείς ότι το εκφράζεις ως άθροισμα πολλαπλασίων τους.

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user

Μαθηματικά (Θετ.)484 views·Updated Jun 26, 2026·4 pages

Εύκολη Θεωρία για Διανύσματα Β’ Λυκείου

Βάγια Τσεμπερλίδου@_gzxbt

Add to Google sources

Τα διανύσματα είναι ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία των μαθηματικών που θα συναντήσεις παντού - από τη φυσική μέχρι την πληροφορική. Ουσιαστικά είναι τρόποι να περιγράφουμε κατεύθυνση και μέγεθος μαζί, κάτι σαν να δείχνεις σε κάποιον "πήγαινε 5 μέτρα...

of 4

Τι είναι τα Διανύσματα

Σημείωση: Το αντίθετο του διανύσματος ΑΒ γράφεται -ΑΒ και ισούται με το ΒΑ.

of 4

Γωνίες και Βασικές Ιδιότητες

Tip: Η γωνία 90° (ή π/2 ακτίνια) είναι ιδιαίτερα σημαντική γιατί δημιουργεί κάθετα διανύσματα!

of 4

Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων

Θυμήσου: Κάθε διάνυσμα γράφεται ως "διανυσματική ακτίνα πέρατος μείον διανυσματική ακτίνα αρχής".

of 4

Πολλαπλασιασμός με Αριθμό

Προσοχή: Όταν λες ότι ένα διάνυσμα "γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός" άλλων, εννοείς ότι το εκφράζεις ως άθροισμα πολλαπλασίων τους.