Μαθηματικά1,188 views·Updated Jun 23, 2026·21 pages

Άλγεβρα - Μαθηματικά για Β Λυκείου

Veronica Photos@veronicaphotos

Add to Google sources

Θα εξετάσουμε τα βασικά θέματα των μαθηματικών που είναι κρίσιμα...

1 / 10

of 10

1 Γραμμικά Συστήματα
Γραμμική εξίσωση ονομάζεται κάθε εξίσωση της
μορφής
ax + by = 8
με a ≠0 6≠0
Μια γραμμική εξίσωση έχει άπειρες λύσεις ή

Γραμμικά Συστήματα και Βασικές Συναρτήσεις

Ξεκινάμε με κάτι που θα συναντάς συνέχεια: τις γραμμικές εξισώσεις. Μια γραμμική εξίσωση έχει τη μορφή ax + by = c με a ≠ 0 ή b ≠ 0. Το κλειδί είναι να θυμάσαι ότι μια τέτοια εξίσωση έχει είτε άπειρες λύσεις είτε είναι αδύνατη.

Όταν δουλεύεις με συστήματα δύο ευθειών, η κατάσταση γίνεται πιο ενδιαφέρουσα. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, το σύστημα είναι αδύνατο. Αν ταυτίζονται, έχει άπειρες λύσεις.

Για τις συναρτήσεις, χρειάζεσαι να θυμάσαι έναν απλό κανόνα: κάθε κατακόρυφη ευθεία πρέπει να τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο. Μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση σημαίνει ότι όταν το x μεγαλώνει, το f(x) επίσης μεγαλώνει.

Συμβουλή: Για τις συναρτήσεις, σκέψου πάντα τη γραφική παράσταση - θα σε βοηθήσει να καταλάβεις τη συμπεριφορά τους!

of 10

Μονοτονία και Ιδιότητες Διάταξης

Εδώ τα πράγματα γίνονται πιο συγκεκριμένα και χρήσιμα για τις ασκήσεις σου. Μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση σημαίνει το αντίθετο: όταν το x μεγαλώνει, το f(x) μικραίνει. Αν μια συνάρτηση είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα, τη λέμε γνησίως μονότονη.

Οι ιδιότητες διάταξης είναι κανόνες που πρέπει να ακολουθείς προσεκτικά. Μπορείς να πολλαπλασιάσεις δύο ανισότητες κατά μέλη μόνο όταν όλα τα μέλη είναι θετικά. Προσοχή: δεν αφαιρούμε ποτέ ανισότητες κατά μέλη!

Για τις δυνάμεις και ρίζες, θυμήσου: αν a < b και είναι θετικά, τότε a^ν < b^ν. Για την αντιστροφή, όταν τα μέλη είναι ομόσημα, η ανισότητα αλλάζει φορά: αν a < b, τότε 1/a > 1/b.

Προσοχή: Στην αντιστροφή πάντα αλλάζει η φορά της ανισότητας!

of 10

Παραβολές και Συμμετρίες Συναρτήσεων

Η δευτεροβάθμια συνάρτηση f(x) = ax² + bx + c είναι από τα πιο σημαντικά θέματα. Όταν a > 0, η παραβολή "χαμογελάει" και έχει ελάχιστο. Όταν a < 0, "θλίβεται" και έχει μέγιστο. Η κορυφή βρίσκεται πάντα στο σημείο x = -b/(2a).

Οι συμμετρίες είναι πιο απλές απ' ότι φαίνονται. Μια άρτια συνάρτηση έχει f(x) = f $-x$ και είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y. Μια περιττή συνάρτηση έχει f $-x$ = -f(x) και είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Για να βρεις τη μονοτονία μιας συνάρτησης με απόλυτη τιμή, πρώτα γράψε τον τύπο χωρίς την απόλυτη τιμή, μετά βάλε τους κατάλληλους περιορισμούς.

Tip: Αν μια περιττή συνάρτηση περιλαμβάνει το 0, τότε πάντα f(0) = 0!

of 10

Μετατοπίσεις και Βασικές Καμπύλες

Οι μετατοπίσεις είναι το κλειδί για να καταλάβεις πώς αλλάζουν οι γραφικές παραστάσεις. Για κατακόρυφη μετατόπιση, προσθέτεις ή αφαιρείς έναν αριθμό στο τέλος: f(x) = φ(x) + c (πάνω) ή f(x) = φ(x) - c (κάτω).

Για οριζόντια μετατόπιση, αλλάζεις το x μέσα στη συνάρτηση: f(x) = φ $x - c$ (δεξιά) ή f(x) = φ $x + c$ (αριστερά). Προσοχή στα πρόσημα - είναι αντίθετα από αυτό που περιμένεις!

Η κορυφή της παραβολής f(x) = ax² + bx + c βρίσκεται στο σημείο K $-b/(2a), -Δ/(4a)$ . Ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία x = -b/(2a).

Μυστικό: Για τις μετατοπίσεις, σκέψου "αντίθετα" - το +c στο x σημαίνει μετακίνηση αριστερά!

of 10

Βασικές Γραφικές Παραστάσεις

Εδώ έχεις τις βασικές συναρτήσεις που πρέπει να αναγνωρίζεις αμέσως. Η f(x) = αx + β είναι μια ευθεία με κλίση α (όταν α > 0 ανεβαίνει). Η f(x) = α είναι μια οριζόντια ευθεία.

Οι f(x) = x και f(x) = -x είναι διχοτόμες - η πρώτη ανεβαίνει, η δεύτερη κατεβαίνει. Αυτές είναι οι βάσεις που θα χρησιμοποιείς για να κατανοήσεις πιο πολύπλοκες συναρτήσεις.

Κάθε μια από αυτές έχει τη δική της χαρακτηριστική μορφή και ιδιότητες που θα σε βοηθήσουν να αναγνωρίζεις παραλλαγές τους.

Βάση: Αν κατανοήσεις καλά αυτές τις βασικές μορφές, όλες οι άλλες θα είναι παραλλαγές τους!

of 10

Τετραγωνικές και Άλλες Βασικές Καμπύλες

Η παραβολή f(x) = ax² είναι η πιο σημαντική καμπύλη που θα συναντήσεις. Όταν a > 0, ανοίγει προς τα πάνω, όταν a < 0 προς τα κάτω. Η πλήρης μορφή f(x) = ax² + βx + γ είναι απλώς μετατοπισμένη παραβολή.

Η συνάρτηση της ρίζας f(x) = √x έχει πεδίο ορισμού [0, +∞) και είναι πάντα αύξουσα. Ξεκινάει από την αρχή των αξόνων και ανεβαίνει σταδιακά.

Αυτές οι βασικές μορφές είναι τα "δομικά στοιχεία" που θα χρησιμοποιείς για να κατανοήσεις πιο σύνθετες συναρτήσεις στη συνέχεια.

Οπτικό trick: Σκιτσάρισε πάντα μια περίπου γραφική παράσταση - θα σε βοηθήσει να καταλάβεις τη συμπεριφορά!

of 10

Υπερβολή και Κυβική Συνάρτηση

Η υπερβολή f(x) = α/x (α ≠ 0) είναι μια από τις πιο χαρακτηριστικές καμπύλες. Έχει δύο κλάδους και δεν ορίζεται στο x = 0. Όταν α > 0, οι κλάδοι βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.

Η κυβική συνάρτηση f(x) = αx³ περνάει πάντα από την αρχή των αξόνων και έχει χαρακτηριστική "S" μορφή. Όταν α > 0, ξεκινάει από κάτω αριστερά και πηγαίνει επάνω δεξιά.

Αυτές οι συναρτήσεις έχουν ειδικές ιδιότητες που τις κάνουν χρήσιμες σε διάφορα προβλήματα. Η υπερβολή είναι περιττή συνάρτηση, όπως και η κυβική.

Θυμήσου: Η υπερβολή ποτέ δεν αγγίζει τους άξονες - πλησιάζει αλλά δεν φτάνει!

of 10

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί και Βασικές Γωνίες

Εδώ μπαίνουμε στον κόσμο της τριγωνομετρίας! Το μήκος τόξου δίνεται από S = αq, όπου α είναι η ακτίνα και q η επίκεντρη γωνία σε ακτίνια. Η βασική σχέση είναι: 180° = π ακτίνια.

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των βασικών γωνιών είναι κάτι που πρέπει να ξέρεις απέξω. Για 30° (π/6): ημ = 1/2, συν = √3/2. Για 45° (π/4): ημ = συν = √2/2. Για 60° (π/3): ημ = √3/2, συν = 1/2.

Στον τριγωνομετρικό κύκλο, κάθε τεταρτημόριο έχει διαφορετικά πρόσημα. Θυμήσου το "ΟΗΕΣ": Ο (1ο) όλοι θετικοί, Η (2ο) μόνο ημίτονο θετικό, Ε (3ο) μόνο εφαπτομένη θετική, Σ (4ο) μόνο συνημίτονο θετικό.

Tip: Φτιάξε ένα μικρό σχήμα με τις βασικές γωνίες - θα σε σώσει στις εξετάσεις!

of 10

Τριγωνομετρικές Ταυτότητες και Αναγωγή

Η θεμελιώδης ταυτότητα ημ²ω + συν²ω = 1 είναι η βάση όλων των υπολοίπων. Από εκεί προκύπτουν και οι άλλες: εφω = ημω/συνω και συν²ω = 1/(1 + εφ²ω).

Η αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο σου επιτρέπει να λύνεις οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση. Βασικοί κανόνες: ημ(-ω) = -ημω, συν(-ω) = συνω, ημ(180° - ω) = ημω, συν(180° - ω) = -συνω.

Για το 90° (π/2): ημ(90° - ω) = συνω και συν(90° - ω) = ημω. Αυτό σημαίνει ότι το ημίτονο και συνημίτονο "ανταλλάσσουν" ρόλους.

Στρατηγική: Μάθε πρώτα τις βασικές ταυτότητες και μετά τις παραλλαγές τους!

of 10

Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Η συνάρτηση του ημιτόνου f(x) = ημx είναι περιοδική με περίοδο 2π και έχει πεδίο τιμών [-1,1]. Είναι περιττή συνάρτηση, άρα συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Η μονοτονία της ημx: αύξουσα στο [0, π/2], φθίνουσα στο [π/2, π], αύξουσα στο [π, 3π/2], φθίνουσα στο [3π/2, 2π]. Αυτό το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 2π.

Τα ακρότατα είναι: μέγιστο 1 στο π/2 $και κάθε π/2 + 2πn$ , ελάχιστο -1 στο 3π/2 $και κάθε 3π/2 + 2πn$ . Η γραφική παράσταση είναι η χαρακτηριστική "ημιτονοειδής καμπύλη".

Κλειδί: Η περιοδικότητα σημαίνει ότι αν καταλάβεις ένα διάστημα [0, 2π], ξέρεις όλη τη συνάρτηση!

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user

Μαθηματικά1,188 views·Updated Jun 23, 2026·21 pages

Άλγεβρα - Μαθηματικά για Β Λυκείου

Veronica Photos@veronicaphotos

Add to Google sources

Θα εξετάσουμε τα βασικά θέματα των μαθηματικών που είναι κρίσιμα για τη Γ' λυκείου. Από τα γραμμικά συστήματα μέχρι τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, αυτά τα κεφάλαια θα σε βοηθήσουν να κατανοήσεις τις βασικές έννοιες που χρειάζεσαι για τις εξετάσεις.

of 10

Γραμμικά Συστήματα και Βασικές Συναρτήσεις

Συμβουλή: Για τις συναρτήσεις, σκέψου πάντα τη γραφική παράσταση - θα σε βοηθήσει να καταλάβεις τη συμπεριφορά τους!

of 10

Μονοτονία και Ιδιότητες Διάταξης

Προσοχή: Στην αντιστροφή πάντα αλλάζει η φορά της ανισότητας!

of 10

Παραβολές και Συμμετρίες Συναρτήσεων

Tip: Αν μια περιττή συνάρτηση περιλαμβάνει το 0, τότε πάντα f(0) = 0!

of 10

Μετατοπίσεις και Βασικές Καμπύλες

Μυστικό: Για τις μετατοπίσεις, σκέψου "αντίθετα" - το +c στο x σημαίνει μετακίνηση αριστερά!

of 10

Βασικές Γραφικές Παραστάσεις

Βάση: Αν κατανοήσεις καλά αυτές τις βασικές μορφές, όλες οι άλλες θα είναι παραλλαγές τους!

of 10

Τετραγωνικές και Άλλες Βασικές Καμπύλες

Οπτικό trick: Σκιτσάρισε πάντα μια περίπου γραφική παράσταση - θα σε βοηθήσει να καταλάβεις τη συμπεριφορά!

of 10

Υπερβολή και Κυβική Συνάρτηση

Θυμήσου: Η υπερβολή ποτέ δεν αγγίζει τους άξονες - πλησιάζει αλλά δεν φτάνει!

of 10

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί και Βασικές Γωνίες

Tip: Φτιάξε ένα μικρό σχήμα με τις βασικές γωνίες - θα σε σώσει στις εξετάσεις!

of 10

Τριγωνομετρικές Ταυτότητες και Αναγωγή

Στρατηγική: Μάθε πρώτα τις βασικές ταυτότητες και μετά τις παραλλαγές τους!

of 10

Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Κλειδί: Η περιοδικότητα σημαίνει ότι αν καταλάβεις ένα διάστημα [0, 2π], ξέρεις όλη τη συνάρτηση!