Πώς συνδέονται τα μήκη, οι γωνίες και τα σχήματα στη...
Μαθηματικά943 views·Updated Jun 20, 2026·6 pagesΓεωμετρία Β’ Λυκείου: Όλα τα θεωρήματα και οι αποδείξεις
N
Nefeli@nefelhhan
1 / 6
1
of 6
Αναλογίες και Ανάλογα Τμήματα
Φαντάσου ότι έχεις δύο ζευγάρια ευθύγραμμων τμημάτων και θέλεις να δεις αν "ταιριάζουν" μεταξύ τους. Αυτό ακριβώς κάνουν οι αναλογίες!
Δύο ευθύγραμμα τμήματα α,γ λέγονται ανάλογα προς δύο άλλα β,δ όταν ο λόγος τους είναι ίσος: α/β = γ/δ. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας "μαγικός" αριθμός λ που κάνει α = λ·β και γ = λ·δ.
Οι ιδιότητες των αναλογιών είναι πολύ χρήσιμες στις ασκήσεις. Η πιο σημαντική είναι ότι αδ = βγ (πολλαπλασιασμός "σταυρωτά"). Επίσης, μπορείς να προσθέτεις ή να αφαιρείς τους όρους με έξυπνους τρόπους!
💡 Συμβουλή: Όταν βλέπεις αναλογία, σκέψου πάντα τον σταυρωτό πολλαπλασιασμό πρώτα!
2
of 6
Θεωρήματα Παραλλήλων Ευθειών
Οι παράλληλες ευθείες δημιουργούν πάντα αναλογίες όταν τις τέμνουν άλλες ευθείες. Αυτό είναι το μυστικό για να λύνεις δύσκολες ασκήσεις!
Το Θεώρημα 2 λέει ότι αν έχεις δύο ευθείες που τέμνουν παράλληλες και τα τμήματα είναι ανάλογα, τότε και το τρίτο ζευγάρι θα είναι παράλληλο. Δηλαδή, οι αναλογίες "δημιουργούν" παραλληλίες!
Το Πόρισμα 1 είναι ακόμα πιο πρακτικό: σε κάθε τρίγωνο, μια παράλληλη προς μια πλευρά χωρίζει τις άλλες δύο πλευρές σε ανάλογα μέρη. Το Θεώρημα 3 συμπληρώνει λέγοντας ότι το μικρότερο τρίγωνο που σχηματίζεται έχει πλευρές ανάλογες με το αρχικό.
💡 Συμβουλή: Όταν βλέπεις παράλληλες σε τρίγωνο, ψάξε πάντα για αναλογίες!
3
of 6
Όμοια Τρίγωνα και Κριτήρια Ομοιότητας
Τα όμοια σχήματα είναι σαν φωτογραφίες στην ίδια θέση αλλά διαφορετικό μέγεθος - ίδιες γωνίες, ανάλογες πλευρές!
Υπάρχουν τρία κριτήρια ομοιότητας που πρέπει να ξέρεις απέξω. Το 1ο κριτήριο είναι το πιο εύκολο: αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, είναι όμοια (η τρίτη γωνία βγαίνει αυτόματα ίση).
Το 2ο κριτήριο συνδυάζει πλευρές και γωνίες: δύο ανάλογες πλευρές και η περιεχόμενη γωνία ίση. Το 3ο κριτήριο είναι το πιο "δύσκολο": όλες οι πλευρές ανάλογες μία προς μία.
💡 Συμβουλή: Στις ασκήσεις, ξεκίνα πάντα με το 1ο κριτήριο - είναι το πιο γρήγορο!
4
of 6
Πυθαγόρειο Θεώρημα και Προβολές
Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι το πιο διάσημο θεώρημα της γεωμετρίας, αλλά εδώ το βλέπεις από μια νέα οπτική - μέσω των προβολών!
Το Θεώρημα 1 λέει κάτι εκπληκτικό: σε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς. Δηλαδή ΑΒ² = ΒΓ·ΒΔ.
Η απόδειξη βασίζεται στα όμοια τρίγωνα που μάθαμε πριν. Όταν χαράξεις το ύψος προς την υποτείνουσα, δημιουργούνται τρία όμοια τρίγωνα!
Το Θεώρημα 2 είναι το κλασικό Πυθαγόρειο: α² + β² = γ². Η απόδειξή του προκύπτει προσθέτοντας τις σχέσεις του προηγούμενου θεωρήματος.
💡 Συμβουλή: Θυμήσου ότι κάθε ορθογώνιο τρίγωνο κρύβει μέσα του τρία όμοια τρίγωνα!
5
of 6
6
of 6
We thought you’d never ask...
What is the Knowunity AI companion?
Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.
Where can I download the Knowunity app?
You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.
Is Knowunity really free of charge?
That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.
Similar Content
Algebra 2Most popular content: Geometric Theorems
1Most popular content in Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,89374
ΜαθηματικάΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Β' Λυκ.1,88839
ΜαθηματικάSOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Α' Λυκ.1,37237
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γ' Λυκ.5,023121
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Β' Λυκ.1,04634
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,27178
ΜαθηματικάΜαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Β' Λυκ.1,20021
ΜαθηματικάΜαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Β' Λυκ.1,18819
Μ
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα
Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.
Γ' Λυκ.4830
Most popular content
9
ΙστορίαΙστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Β' Λυκ.8,524300
ΙστορίαΣχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
Α' Λυκ.2,84668
Ιστορίαιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Α' Λυκ.2,0430
ΒιολογίαΒιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Β' Λυκ.7,138227
ΒιολογίαΒιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Β' Λυκ.3,14377
ΙστορίαΙστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Α' Λυκ.2,25942
ΦυσικήΦυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Β' Γυμν.9,433665
ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,89374
Πληροφορική (Οικ.)Πληροφορική - Όλη η θεωρία
Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου
Γ' Λυκ.1,61844
Can't find what you're looking for? Explore other subjects.
Students love us — and so will you.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.
Stefan SiOS user
This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.
Samantha KlichAndroid user
Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.
AnnaiOS user
Μαθηματικά943 views·Updated Jun 20, 2026·6 pagesΓεωμετρία Β’ Λυκείου: Όλα τα θεωρήματα και οι αποδείξεις
N
Nefeli@nefelhhan
Πώς συνδέονται τα μήκη, οι γωνίες και τα σχήματα στη γεωμετρία; Σε αυτό το κεφάλαιο θα μάθεις πώς να χρησιμοποιείς τις αναλογίες για να λύνεις προβλήματα και πώς να αναγνωρίζεις όμοια σχήματα.
1
of 6
Sign up to see the content. It's free!
- Access to all documents
- Improve your grades
- Join milions of students
Αναλογίες και Ανάλογα Τμήματα
Φαντάσου ότι έχεις δύο ζευγάρια ευθύγραμμων τμημάτων και θέλεις να δεις αν "ταιριάζουν" μεταξύ τους. Αυτό ακριβώς κάνουν οι αναλογίες!
Δύο ευθύγραμμα τμήματα α,γ λέγονται ανάλογα προς δύο άλλα β,δ όταν ο λόγος τους είναι ίσος: α/β = γ/δ. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας "μαγικός" αριθμός λ που κάνει α = λ·β και γ = λ·δ.
Οι ιδιότητες των αναλογιών είναι πολύ χρήσιμες στις ασκήσεις. Η πιο σημαντική είναι ότι αδ = βγ (πολλαπλασιασμός "σταυρωτά"). Επίσης, μπορείς να προσθέτεις ή να αφαιρείς τους όρους με έξυπνους τρόπους!
💡 Συμβουλή: Όταν βλέπεις αναλογία, σκέψου πάντα τον σταυρωτό πολλαπλασιασμό πρώτα!
2
of 6Sign up to see the content. It's free!
- Access to all documents
- Improve your grades
- Join milions of students
Θεωρήματα Παραλλήλων Ευθειών
Οι παράλληλες ευθείες δημιουργούν πάντα αναλογίες όταν τις τέμνουν άλλες ευθείες. Αυτό είναι το μυστικό για να λύνεις δύσκολες ασκήσεις!
Το Θεώρημα 2 λέει ότι αν έχεις δύο ευθείες που τέμνουν παράλληλες και τα τμήματα είναι ανάλογα, τότε και το τρίτο ζευγάρι θα είναι παράλληλο. Δηλαδή, οι αναλογίες "δημιουργούν" παραλληλίες!
Το Πόρισμα 1 είναι ακόμα πιο πρακτικό: σε κάθε τρίγωνο, μια παράλληλη προς μια πλευρά χωρίζει τις άλλες δύο πλευρές σε ανάλογα μέρη. Το Θεώρημα 3 συμπληρώνει λέγοντας ότι το μικρότερο τρίγωνο που σχηματίζεται έχει πλευρές ανάλογες με το αρχικό.
💡 Συμβουλή: Όταν βλέπεις παράλληλες σε τρίγωνο, ψάξε πάντα για αναλογίες!
3
of 6Sign up to see the content. It's free!
- Access to all documents
- Improve your grades
- Join milions of students
Όμοια Τρίγωνα και Κριτήρια Ομοιότητας
Τα όμοια σχήματα είναι σαν φωτογραφίες στην ίδια θέση αλλά διαφορετικό μέγεθος - ίδιες γωνίες, ανάλογες πλευρές!
Υπάρχουν τρία κριτήρια ομοιότητας που πρέπει να ξέρεις απέξω. Το 1ο κριτήριο είναι το πιο εύκολο: αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, είναι όμοια (η τρίτη γωνία βγαίνει αυτόματα ίση).
Το 2ο κριτήριο συνδυάζει πλευρές και γωνίες: δύο ανάλογες πλευρές και η περιεχόμενη γωνία ίση. Το 3ο κριτήριο είναι το πιο "δύσκολο": όλες οι πλευρές ανάλογες μία προς μία.
💡 Συμβουλή: Στις ασκήσεις, ξεκίνα πάντα με το 1ο κριτήριο - είναι το πιο γρήγορο!
4
of 6Sign up to see the content. It's free!
- Access to all documents
- Improve your grades
- Join milions of students
Πυθαγόρειο Θεώρημα και Προβολές
Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι το πιο διάσημο θεώρημα της γεωμετρίας, αλλά εδώ το βλέπεις από μια νέα οπτική - μέσω των προβολών!
Το Θεώρημα 1 λέει κάτι εκπληκτικό: σε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς. Δηλαδή ΑΒ² = ΒΓ·ΒΔ.
Η απόδειξη βασίζεται στα όμοια τρίγωνα που μάθαμε πριν. Όταν χαράξεις το ύψος προς την υποτείνουσα, δημιουργούνται τρία όμοια τρίγωνα!
Το Θεώρημα 2 είναι το κλασικό Πυθαγόρειο: α² + β² = γ². Η απόδειξή του προκύπτει προσθέτοντας τις σχέσεις του προηγούμενου θεωρήματος.
💡 Συμβουλή: Θυμήσου ότι κάθε ορθογώνιο τρίγωνο κρύβει μέσα του τρία όμοια τρίγωνα!
5
of 6Sign up to see the content. It's free!
- Access to all documents
- Improve your grades
- Join milions of students
6
of 6Sign up to see the content. It's free!
- Access to all documents
- Improve your grades
- Join milions of students
We thought you’d never ask...
What is the Knowunity AI companion?
Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.
Where can I download the Knowunity app?
You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.
Is Knowunity really free of charge?
That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.
Similar Content
Most popular content: Geometric Theorems
1Most popular content in Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,89374
ΜαθηματικάΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Β' Λυκ.1,88839
ΜαθηματικάSOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Α' Λυκ.1,37237
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γ' Λυκ.5,023121
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Β' Λυκ.1,04634
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,27178
ΜαθηματικάΜαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Β' Λυκ.1,20021
ΜαθηματικάΜαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Β' Λυκ.1,18819
Μ
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα
Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.
Γ' Λυκ.4830
Most popular content
9ΙστορίαΙστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Β' Λυκ.8,524300
ΙστορίαΣχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
Α' Λυκ.2,84668
Ιστορίαιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Α' Λυκ.2,0430
ΒιολογίαΒιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Β' Λυκ.7,138227
ΒιολογίαΒιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Β' Λυκ.3,14377
ΙστορίαΙστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Α' Λυκ.2,25942
ΦυσικήΦυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Β' Γυμν.9,433665
ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,89374
Πληροφορική (Οικ.)Πληροφορική - Όλη η θεωρία
Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου
Γ' Λυκ.1,61844
Can't find what you're looking for? Explore other subjects.
Students love us — and so will you.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.
Stefan SiOS user
This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.
Samantha KlichAndroid user
Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.
AnnaiOS user