Μαθηματικά2,893 views·Updated Jun 19, 2026·12 pages

Όλη η Θεωρία Άλγεβρας Α' Λυκείου - Ορισμοί και Τύποι

Milie Notes@millll

Add to Google sources

Η άλγεβρα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με...

1 / 10

of 10

Αλγεβρα Ύλη
Ν → φυσικοί
Ζ → ακέραιοι
Q → ρητοί
R → πραγματικοί
Xe → χ ανήκει
Xe → χ δεν ανήκει
X → τομή (σύνολο στοιχείων ανήκουν 4 στα 2)
U

Βασικά Σύνολα Αριθμών και Αλγεβρικές Ιδιότητες

Αρχικά πρέπει να γνωρίζεις τα βασικά σύνολα αριθμών: φυσικοί (Ν), ακέραιοι (Ζ), ρητοί (Q) και πραγματικοί (R). Αυτά τα σύνολα μας βοηθούν να ταξινομούμε τους διαφορετικούς τύπους αριθμών.

Οι αλγεβρικές ιδιότητες είναι οι κανόνες που ακολουθούν η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Η αντιμεταθετική ιδιότητα σου λέει ότι a+b = b+a και ab = ba. Η προσεταιριστική ότι μπορείς να ομαδοποιήσεις τους όρους όπως θέλεις: a+ $b+γ$ = $a+b$ +γ.

Επίσης υπάρχουν τα ουδέτερα στοιχεία (0 για πρόσθεση, 1 για πολλαπλασιασμό) και η επιμεριστική ιδιότητα: a $b+γ$ = ab+aγ. Αυτές οι ιδιότητες είναι θεμελιώδεις για όλες τις αλγεβρικές πράξεις που θα κάνεις.

Συμβουλή: Μάθε καλά τις ιδιότητες των δυνάμεων γιατί τις χρησιμοποιείς συνεχώς: α^μ · α^λ = α^(μ+λ) και α^μ/α^λ = α^(μ-λ).

of 10

Ταυτότητες και Ανισότητες

Οι ταυτότητες είναι τύποι που ισχύουν πάντα και σου εξοικονομούν χρόνο στις πράξεις. Οι πιο σημαντικές είναι: $a+b$ ² = a²+2ab+b², $a-b$ ² = a²-2ab+b² και η διαφορά τετραγώνων a²-b² = $a+b$ $a-b$ .

Για τις ανισότητες, θυμήσου ότι όταν λέμε a > b, σημαίνει ότι η διαφορά a-b είναι θετική. Αν έχεις δύο θετικούς αριθμούς, το άθροισμά τους είναι θετικό. Αν έχεις δύο αρνητικούς, το άθροισμα είναι αρνητικό.

Μια χρήσιμη ιδιότητα είναι ότι a² + b² ≥ 0 πάντα, και ισούται με 0 μόνο όταν a = b = 0. Αυτό φαίνεται προφανές, αλλά είναι πολύ χρήσιμο στην πράξη.

Προσοχή: Στις κυβικές ταυτότητες, πρόσεχε τα πρόσημα και τους συντελεστές!

of 10

Ιδιότητες Ανισοτήτων και Διαστήματα

Οι ανισότητες έχουν συγκεκριμένους κανόνες που πρέπει να τηρείς. Αν a > b και b > γ, τότε a > γ (μεταβατική ιδιότητα). Μπορείς να προσθέσεις τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές χωρίς να αλλάξει η ανισότητα.

Προσοχή στον πολλαπλασιασμό: αν πολλαπλασιάσεις με θετικό αριθμό, η ανισότητα μένει ίδια. Αν πολλαπλασιάσεις με αρνητικό, η ανισότητα αντιστρέφεται!

Τα διαστήματα είναι τρόπος να γράψεις σύνολα αριθμών. Οι αγκύλες [ ] σημαίνουν ότι το άκρο συμπεριλαμβάνεται, οι παρενθέσεις ( ) ότι δεν συμπεριλαμβάνεται. Για παράδειγμα, [a,b) σημαίνει a ≤ x < b.

Συμβουλή: Όταν λύνεις ανισώσεις, σχεδίαζε πάντα άξονα για να βλέπεις οπτικά τη λύση!

of 10

Απόλυτη Τιμή

Η απόλυτη τιμή |a| ενός αριθμού είναι πάντα θετική ή μηδέν. Αν ο αριθμός είναι θετικός, η απόλυτη τιμή του είναι ο ίδιος. Αν είναι αρνητικός, η απόλυτη τιμή είναι ο αντίθετός του.

Βασικές ιδιότητες: |a| = |-a|, |a| ≥ 0 πάντα, και |a|² = a². Για να λύσεις εξισώσεις με απόλυτες τιμές, θυμήσου ότι |x| = a έχει λύσεις x = a ή x = -a (όταν a > 0).

Οι ιδιότητες των απόλυτων τιμών είναι: |a·b| = |a|·|b|, |a/b| = |a|/|b|, και η σημαντική τριγωνική ανισότητα: |a + b| ≤ |a| + |b|.

Τρικ: Η απόλυτη τιμή μετρά την απόσταση από το μηδέν στον άξονα των πραγματικών!

of 10

Ρίζες και ν-οστές Ρίζες

Η τετραγωνική ρίζα √a ενός μη αρνητικού αριθμού a είναι ο μη αρνητικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει a. Σημαντικό: √a² = |a|, όχι απλώς a!

Βασικές ιδιότητες των ριζών: √a · √b = √(ab) και √a/√b = √ $a/b$ . Αυτές ισχύουν μόνο όταν a, b ≥ 0.

Οι ν-οστές ρίζες γενικεύουν την έννοια. Η ⁿ√a είναι ο αριθμός που υψωμένος στην ν δίνει a. Αν η ν είναι άρτια, χρειαζόμαστε a ≥ 0. Αν είναι περιττή, μπορούμε να έχουμε οποιοδήποτε a.

Σημείωση: Όταν η ν είναι άρτια, ⁿ√aⁿ = |a| για να εξασφαλίσουμε μη αρνητικό αποτέλεσμα!

of 10

Ιδιότητες Ριζών και Ρητοί Εκθέτες

Οι αποδείξεις των ιδιοτήτων των ριζών βασίζονται στο ότι υψώνουμε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές. Για παράδειγμα, (√a · √b)² = a · b = (√ab)², άρα √a · √b = √ab.

Μια σημαντική ιδιότητα είναι ότι αν a < b και a, b > 0, τότε √a < √b. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας είναι αύξουσα.

Οι ρητοί εκθέτες ορίζονται ως a^ $m/n$ = ⁿ√ $a^m$ . Αυτό μας επιτρέπει να δουλεύουμε με δυνάμεις που έχουν κλάσματα ως εκθέτες.

Προσοχή: Οι ιδιότητες των ριζών ισχύουν μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς!

of 10

Εξισώσεις με Ρίζες και Δευτεροβάθμιες Εξισώσεις

Για εξισώσεις της μορφής x^ν = a: αν ν είναι περιττός, x = ⁿ√a. Αν ν είναι άρτιος, έχουμε λύση μόνο για a ≥ 0, και τότε x = ±ⁿ√a.

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ax² + bx + γ = 0 λύνονται με τη διακρίνουσα Δ = b² - 4aγ. Αν Δ > 0, έχουμε 2 ρίζες. Αν Δ = 0, μία διπλή ρίζα. Αν Δ < 0, καμία πραγματική λύση.

Οι τύποι Vieta δίνουν τη σχέση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών: S = x₁ + x₂ = -b/a και P = x₁ · x₂ = γ/a. Αυτοί είναι πολύ χρήσιμοι για γρήγορους υπολογισμούς.

Τρικ: Μάθε τους τύπους Vieta καλά - σου εξοικονομούν πολύ χρόνο στις εξετάσεις!

of 10

Πρόσημο και Είδος Ριζών

Το πρόσημο των ριζών εξαρτάται από το άθροισμα S και το γινόμενο P τους. Αν P < 0, οι ρίζες είναι ετερόσημες. Αν P > 0 και S > 0, είναι και οι δύο θετικές. Αν P > 0 και S < 0, είναι και οι δύο αρνητικές.

Ειδικές περιπτώσεις: αντίθετες ρίζες όταν S = 0, αντίστροφες όταν P = 1. Αυτές οι συνθήκες σου επιτρέπουν να βρίσκεις γρήγορα παραμέτρους σε προβλήματα.

Οι ανισώσεις 1ου βαθμού λύνονται εύκολα, αλλά πρόσεχε το πρόσημο όταν διαιρείς με αρνητικό αριθμό. Για συστήματα ανισώσεων, λύνεις κάθε μία ξεχωριστά και βρίσκεις την τομή.

Μέθοδος: Για συστήματα ανισώσεων, σχεδίαζε άξονα και τοποθετείς κάθε λύση!

of 10

Πίνακες Προσήμων

Για την ανίσωση ax + b, η ρίζα είναι x₀ = -b/a. Το πρόσημο αλλάζει στη ρίζα: αριστερά της ρίζας το πρόσημο είναι αντίθετο από το a, δεξιά είναι ίδιο με το a.

Στις δευτεροβάθμιες ανισώσεις ax² + bx + γ, η κατάσταση εξαρτάται από τη διακρίνουσα. Αν Δ > 0, έχουμε δύο ρίζες και το τριώνυμο αλλάζει πρόσημο. Μεταξύ των ριζών το πρόσημο είναι αντίθετο από το a.

Αν Δ = 0, έχουμε μία διπλή ρίζα και το τριώνυμο δεν αλλάζει πρόσημο (εκτός από τη ρίζα όπου μηδενίζεται). Αν Δ < 0, το πρόσημο είναι πάντα ίδιο με το a.

Κλειδί: Ο πίνακας προσήμων είναι το εργαλείο σου για κάθε ανίσωση!

of 10

Παραγοντοποίηση και Εισαγωγή στις Συναρτήσεις

Η παραγοντοποίηση τριωνύμου εξαρτάται από τη διακρίνουσα. Αν Δ > 0, ax² + bx + γ = a $x - x₁$ $x - x₂$ . Αν Δ = 0, γίνεται a $x - x₀$ ². Αν Δ < 0, δεν παραγοντοποιείται σε πραγματικούς αριθμούς.

Μια συνάρτηση είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α (πεδίο ορισμού) ακριβώς ένα στοιχείο ενός συνόλου Β. Γράφουμε f(x) = y, όπου x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και y η εξαρτημένη μεταβλητή.

Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των τιμών του x για τις οποίες η συνάρτηση έχει νόημα. Αυτό θα γίνει πολύ σημαντικό όταν μελετήσεις πιο σύνθετες συναρτήσεις.

Θυμήσου: Κάθε x αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα y - αυτός είναι ο ορισμός της συνάρτησης!

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI companion is specifically built for the needs of students. Based on the millions of content pieces we have on the platform we can provide truly meaningful and relevant answers to students. But its not only about answers, the companion is even more about guiding students through their daily learning challenges, with personalised study plans, quizzes or content pieces in the chat and 100% personalisation based on the students skills and developments.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app in the Google Play Store and in the Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan SiOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha KlichAndroid user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

AnnaiOS user

Μαθηματικά2,893 views·Updated Jun 19, 2026·12 pages

Όλη η Θεωρία Άλγεβρας Α' Λυκείου - Ορισμοί και Τύποι

Milie Notes@millll

Add to Google sources

Η άλγεβρα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με σύμβολα, αριθμούς και τις σχέσεις μεταξύ τους. Στη Β' Λυκείου θα μάθεις τις βασικές έννοιες και ιδιότητες που αποτελούν τη βάση για πιο σύνθετα μαθηματικά.

of 10

Βασικά Σύνολα Αριθμών και Αλγεβρικές Ιδιότητες

Συμβουλή: Μάθε καλά τις ιδιότητες των δυνάμεων γιατί τις χρησιμοποιείς συνεχώς: α^μ · α^λ = α^(μ+λ) και α^μ/α^λ = α^(μ-λ).

of 10

Ταυτότητες και Ανισότητες

Προσοχή: Στις κυβικές ταυτότητες, πρόσεχε τα πρόσημα και τους συντελεστές!

of 10

Ιδιότητες Ανισοτήτων και Διαστήματα

Συμβουλή: Όταν λύνεις ανισώσεις, σχεδίαζε πάντα άξονα για να βλέπεις οπτικά τη λύση!

of 10

Απόλυτη Τιμή

Τρικ: Η απόλυτη τιμή μετρά την απόσταση από το μηδέν στον άξονα των πραγματικών!

of 10

Ρίζες και ν-οστές Ρίζες

Βασικές ιδιότητες των ριζών: √a · √b = √(ab) και √a/√b = √ $a/b$ . Αυτές ισχύουν μόνο όταν a, b ≥ 0.

Σημείωση: Όταν η ν είναι άρτια, ⁿ√aⁿ = |a| για να εξασφαλίσουμε μη αρνητικό αποτέλεσμα!

of 10

Ιδιότητες Ριζών και Ρητοί Εκθέτες

Προσοχή: Οι ιδιότητες των ριζών ισχύουν μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς!

of 10

Εξισώσεις με Ρίζες και Δευτεροβάθμιες Εξισώσεις

Τρικ: Μάθε τους τύπους Vieta καλά - σου εξοικονομούν πολύ χρόνο στις εξετάσεις!

of 10

Πρόσημο και Είδος Ριζών

Μέθοδος: Για συστήματα ανισώσεων, σχεδίαζε άξονα και τοποθετείς κάθε λύση!

of 10

Πίνακες Προσήμων

Κλειδί: Ο πίνακας προσήμων είναι το εργαλείο σου για κάθε ανίσωση!

of 10

Παραγοντοποίηση και Εισαγωγή στις Συναρτήσεις

Θυμήσου: Κάθε x αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα y - αυτός είναι ο ορισμός της συνάρτησης!